Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

70 2 Simetrías y Leyes de conservación
Entonces L = ˆα + (τ k Q )∗ f (salvo constantes).
Recíprocamente, supongamos que L = ˆα + (τ k Q )∗ f (salvo constante). Para cada
A = 1, . . . , k se tiene
θ A L = dL ◦ J A = d(ˆα + (τ k Q) ∗ f) ◦ J A = dˆα ◦ J A = (τ k Q) ∗ α A ,
puesto que d(τ k Q )∗ f se anula en los campos de vectores verticales. Como α A es
cerrada, dα A = 0 y obtenemos
ω A L = −dθ A L = −d((τ k Q) ∗ α A ) = −(τ k Q) ∗ (dα A ) = 0 .
Observación 2.37 Este Lema es una generalización del correspondiente resultado
de la Mecánica lagrangiana Autónoma (véase [1], p 216).
La función α definida en el Lema anterior nos permite establecer cuando dos
lagrangianos son gauge equivalentes.
Proposición 2.38 Las funciones lagrangianas L1, L2 ∈ C∞ (T 1 k Q) son gauge equivalentes
si, y sólo si, L1 = L2 + ˆα (salvo constantes).
Demostración:
Supongamos que L1, L2 ∈ C∞ (T 1 k Q) son gauge equivalentes.
Como ωA L1 = ωA L2 , entonces ωA = 0, 1 ≤ A ≤ k. Así, del Lema 2.36 sabemos
L1−L2
que existen α1 , . . . , αk 1-formas cerradas en Q, y f ∈ C∞ (Q) tales que
L1 − L2 = ˆα + (τ k Q) ∗ f (salvo constante).
De la Proposición 2.34 sabemos que EL1 = EL2, (salvo constantes), o equivalentemente,
EL1 − EL2 = 0 (salvo constante). Así,
0 = EL1 − EL2 = ∆(L1) − L1 − ∆(L2) + L2 = ∆(L1 − L2) − (L1 − L2)
= ∆(ˆα + (τ k Q )∗ f) − (L1 − L2) = ˆα − (L1 − L2) (salvo constantes),
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