Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

1.2.1 Elementos geométricos. 23
El difeomorfismo que identifica los fibrados T 1 k Q y J 1 0 (R k , Q) está dado por:
J 1 0 (Rk , Q) ≡ T Q⊕ k . . . ⊕T Q
j1 0,qφ ≡ (v1q, . . . , vkq)
donde q = φ(0), y vAq = φ∗(0)[(∂/∂t A )(0)], A = 1, . . . , k.
El sistema local de coordenadas (qi , vi A )1≤i≤n,1≤A≤k en T 1 k U ⊂ T 1 k Q, introducido
en (1.19), se define en términos de jets como sigue:
donde t = (t 1 , . . . , t k ) ∈ R k .
q i (j 1 0,qφ) = q i (q), v i A(j 1 0,qφ) = ∂(qi ◦ φ)
∂t A
t=0
B. Levantamientos verticales de campos de vectores de Q a T 1 k Q.
Definición 1.26 Sea uq ∈ TqQ un vector tangente a Q en el punto q ∈ Q. Para
cada A = 1, . . . , k, definimos su levantamiento vertical A-ésimo, (uq) VA , como
el campo de vectores en la fibra (τ k Q )−1 (q) ⊂ T 1 k Q dado por
(uq) VA d
wq =
ds (v1q, . . . , vA−1q , vAq + suq, vA+1q
para todo punto wq = (v1q, . . . , vkq) ∈ (τ k Q )−1 (q) ⊂ T 1 k Q.
i ∂
En un sistema local de coordenadas, si uq = u
∂qi
(uq) VA ∂
wq = ui
∂vi
wq A
q
,
, . . . , vkq)
entonces
s=0
⋄
(1.20)
. (1.21)
El levantamiento vertical de vectores induce el levantamiento vertical de campos
de vectores.