Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

130 4 Relación entre conexiones no lineales en T 1 k Q y sopde’s
donde hemos usado que Γ 2 = I, (véase lema anterior). Entonces h 2 = h. De modo
análogo se comprueba que v 2 = v. Así, h y v son dos proyectores, h + v = I y
T (T 1 k Q) = Im h ⊕ Imv = H(T 1 k Q) ⊕ V (T 1 k Q) ,
donde H(T 1 k Q) = Im h es la distribución horizontal y V (T 1 k
bución vertical con respecto a la proyección canónica τ k Q : T 1 k
Q) = Im v es la distri-
Q → Q.
Observación 4.16 Si reescribimos la proposición anterior en el caso particular k =
1 obtenemos un resultado establecido por Grifone en [53].
De (4.19) deducimos que, en un sistema local de coordenadas, el tensor Γ es de
la forma
Γ = − ∂
+ Γj
∂qi Ai
∂
⊗ dq i + ∂
∂vi ⊗ dv
A
i A , (4.20)
∂v j
A
donde Γ j
Ai son funciones definidas en T 1 k Q a las denominamos funciones componentes
de Γ.
Sea Γ un tensor de tipo (1, 1) verificando (4.19) y h el proyector horizontal
asociado a Γ mediante la relación Γ = I − 2h. Teniendo en cuenta las expresiones
locales (4.15) y (4.20), de h y Γ respectivamente, la relación entre las componentes
de Γ y las componentes de la conexión no-lineal definida por h viene dada por la
relación
Γ j j
Ai = 2NAi .
4.3. Relación entre sopde’s y conexiones no lineales.
En esta sección demostraremos que cada conexión no-lineal define una ecuación
Q y recíprocamente cada
Q nos permitirá definir una conexión no lineal.
en derivadas parciales de segundo orden, (sopde), en T 1 k
sopde de T 1 k
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