Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

4.3 Relación entre sopde’s y conexiones no lineales. 131
A. sopde asociado a una conexión no lineal.
Consideremos una conexión no-lineal en τ k Q : T 1 k Q → Q, como sabemos, esto es
equivalente a considerar una aplicación horizontal H : T 1 k Q ×Q T Q → T (T 1 k Q).
Definimos el sopde ξH = (ξ1 H , . . . , ξk H ) asociado a H por medio de las expresiones
esto es,
T 1 k Q
ξ A H := H ◦ δA, 1 ≤ A ≤ k,
ξ A H
δA
1 Tk Q ×Q T Q H
1 T (Tk Q)
donde la aplicación δA es la sección de (τ k Q )∗τQ : T 1 k Q ×Q T Q → T 1 k Q que hemos
definido en (4.5).
Teniendo en cuenta las definiciones (4.5) y (4.9) de de δA y H obtenemos que
ξ A H(vq) = v i
∂
A
∂qi
B. Conexión asociada a un sopde.
vq
− N k Bi
∂
∂vk
vq
B
. (4.21)
Recíprocamente a lo que hemos hecho en el apartado anterior, podemos asociar
una aplicación horizontal Hξ a cada sopde ξ. Así obtenemos una conexión Nξ
asociada con ξ.
El esquema que vamos a seguir par definir una conexión no lineal asociada a un
sopde es el siguiente:
A cada sopde le asociamos un proyector horizontal hξ. Este proyector horizontal
nos permite definir una aplicación horizontal Hξ y una conexión Nξ. Además,
teniendo en cuenta la caracterización de las conexiones de Ehresman en términos de
tensores de tipo (1, 1) que satisfacen ciertas propiedades, véase la proposición 4.15,
podemos definir un tensor Γξ de tipo (1, 1) verificando:
J A ◦ Γξ = −J A y Γ ◦ J A = J A , 1 ≤ A ≤ k .