Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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314 8 Formalismo k-cosimpléctico en algebroides de Lie. De las expresiones (8.4), (8.10) y (8.12) obtenemos que ξ VA se escribe en función de la base local {Y A , Xα, V B β } de secciones del fibrado vectorial τ k Rk × ⊕E : TE (Rk × k ⊕ E) → Rk × k ⊕ E como sigue: ξ VA (aq, t, bq) = (0q, y α (aq) ∂ ∂yα A (t,bq) ) = y α (aq)V A α(t, bq) , 1 ≤ A ≤ k . (8.13) Observación 8.4 Los levantamientos verticales ξV1 , . . . , ξVk, que hemos definido en ese apartado, nos permitirán introducir en los apartados D y E de esta subsección dos familias de objetos geométricos canónicos en TE (Rk × k ⊕ E): los endomorfismos verticales y las secciones de Liouville. D. Endomorfismo verticales en T E (R k × k ⊕ E). En la sección 6.2.1 hemos definido una familia S 1 , . . . , S k de tensores de tipo (1, 1) en Rk × T 1 k Q. Esta familia de tensores de tipo (1, 1) se emplea en el desarrollo de la formulación lagrangiana k-simpléctica de las teorías clásicas de campos de primer orden. En este apartado vamos a introducir el objeto análogo en el contexto de los algebroides de Lie. Definición 8.5 Para cada A = 1, . . . , k se define el endomorfismo vertical Aésimo en TE (Rk × k ⊕ E) ≡ E ×T Q T (Rk × k ⊕ E) como la aplicación S A : T E (R k × k ⊕ E) → T E (R k × k ⊕ E) (aq, v(t,bq)) ↦→ S A (aq, v(t,bq)) = ξ VA (aq, t, bq) , donde aq ∈ E, (t, bq) ∈ R k × k ⊕ E y v(t,bq) ∈ T(t,bq)(R k × k ⊕ E). Lema 8.6 Consideremos {Y A , Xα, V A α}1≤A≤k, 1≤α≤m (8.14)
8.1.1 Elementos geométricos. 315 una base local de secciones de τ k Rk × ⊕E : TE (Rk × k ⊕ E) → Rk × k ⊕ E y sea la base dual asociada. {YA, X α , V α A}1≤A≤k, 1≤α≤m En estas bases, la expresión local de S A es: Demostración: S A = m V A α ⊗ X α , 1 ≤ A ≤ k . (8.15) α=1 La expresión local de S A es consecuencia de las expresiones (8.4) y (8.13). En efecto, teniendo en cuenta estas expresiones obtenemos S A (Y B (t, bq)) = ξ VA (0q, t, bq) = y α A (0q)V A α(t, bq) = 0 , S A (Xα(t, bq)) = ξ VA (eα(q), t, bq) = y β (eα(q))V A β (t, bq) = V A α(t, bq) S A (V B α (t, bq)) = ξ VA (0q, t, bq) = y α A (0q)V A α(t, bq) = 0 , para cada (t, bq) ∈ R k × k ⊕ E y cada A, B = 1, . . . , k, α = 1 . . . , m. Observación 8.7 Los endomorfismos S1 , . . . , Sk que hemos definido en este apartado nos permitirán introducir las “secciones lagrangianas. en el formalismo Lagrangiano k-cosimpléctico en algebroides de Lie. Además también nos permitirán caracterizar ciertas secciones del fibrado prolongación TE (Rk × k ⊕ E) denominadas sopde’s (que definiremos en la subsección siguiente). Observación 8.8 Reescribiendo la definición de S1 , . . . , Sk en el caso particular E = T Q y ρ = idT Q obtenemos los campos de tensores canónicos S1 , . . . , S k en Rk × T 1 k Q, véase el capítulo 6. ⋄
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A mi familia
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Apéndice B Espacios vectoriales k-
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M ⊂ T 1 k Q Subvariedad de ligadu
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Conclusiones. El punto de partida d
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Bibliografía 383 [50] M.J. Gotay,
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Bibliografía 385 [75] M. de León,
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Bibliografía 387 [100] E. Martíne
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Bibliografía 389 [124] D. J. Saund
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