Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

150 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
que se denomina derivada de Lie y que se define como sigue:
L E σ = ıσ ◦ d E + d E ◦ ıσ , σ ∈ Sec(E)
(para más detalles sobre estas derivaciones y sus propiedades, véase K. Mackenzie
[89, 90]).
Obsérvese que si E = T Q y ρ = idT Q entonces σ ∈ Sec(E) = X(Q) y se verifica
que d T Q y L T Q son la diferencial y la derivada de Lie usuales.
5.1.4. Morfismos de algebroides de Lie.
Definición 5.4 Sean (E, [·, ·]E, ρ) y (E ′ , [·, ·] ′ E , ρ′ ) dos algebroides de Lie sobre Q
y Q ′ , respectivamente. Un morfismo de fibrados vectoriales Φ = (Φ, Φ) de E a E ′
τ
E
Q
Φ
es un morfismo de algebroides de Lie si
para todo σ ′ ∈ Sec( l (E ′ ) ∗ ) y para todo l.
Φ
E ′
τ ′
′ Q
d E (Φ ∗ σ ′ ) = Φ ∗ (d E′
σ ′ ) , (5.5)
Obsérvese que en esta definición Φ ∗ σ ′ es la sección del fibrado vectorial
definida por
para q ∈ Q y a1, . . . , al ∈ Eq.
l E ∗ → Q
(Φ ∗ σ ′ )q(a1, . . . , al) = σ ′ Φ(q)(Φ(a1), . . . , Φ(al)) , (5.6)
En el caso particular Q = Q ′ y Φ = idQ se puede demostrar que (Φ, idQ) es un
morfismo de algebroides de Lie si, y sólo si,
[Φ ◦ σ1, Φ ◦ σ2 ]E ′ = Φ[σ1, σ2 ]E y ρ ′ (Φ ◦ σ) = ρ(σ),