Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.3.3 Formalismo lagrangiano. 177
definida por la composición
esto es,
[T E ( k
⊕ E)]bq
J A bq
(Θ A L)(bq)(aq, vbq) = (dL)bq
Θ A L (bq)
[T E ( k
⊕ E)]bq
(dL)bq
R
( J A
)bq(aq, vbq) , (5.41)
siendo d = d TE ( k
⊕E) la diferencial exterior de T E ( k
⊕ E), véase (5.27).
Estas secciones Θ 1 L , . . . , Θ k L
de Poincaré-Cartan.
se denominan secciones lagrangianas o secciones
Utilizando la expresión (5.27) de df = d TE ( k
⊕E) f con f = L se obtiene:
(Θ A L)(bq)(aq, vbq) = (dL)bq
( J A
)bq(aq, vbq) = ρ τ (( J A
)bq(aq, vbq)) L , (5.42)
donde bq ∈ k
⊕ E, (aq, vbq) ∈ [T E ( k
⊕ E)]bq y ρ τ (( J A )bq(aq, vbq)) ∈ Tbq( k
⊕ E).
por
A partir de las 1-secciones Θ 1 L , . . . , Θ k L
definimos las 2-secciones
Ω A L : k
⊕ E → (T E ( k
⊕ E)) ∗ ∧ (T E ( k
⊕ E)) ∗ , 1 ≤ A ≤ k
Ω A L: = −dΘ A L , 1 ≤ A ≤ k .
Reescribiendo el apartado (2) de la Definición 5.2 de la diferencial exterior de
un algebroide de Lie para el algebroide TE ( k
⊕ E), podemos escribir:
Ω A L (ξ1, ξ2) = −dΘ A L (ξ1, ξ2)
= [ρ τ (ξ2)](Θ A L (ξ1)) − [ρ τ (ξ1)](Θ A L (ξ2)) + Θ A L ([ξ1, ξ2 ] τ ) ,
(5.43)
para todo par ξ1, ξ2 ∈ Sec(TE ( k
⊕ E)) donde (ρτ , [·, ·] τ ) denota la estructura de
algebroide de Lie de TE ( k
⊕ E) definida en la Sección 5.3.1.B.
A continuación establecemos las expresiones locales de Θ A L y ΩA L .