Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

6.2.1 Elementos geométricos. 241
formada por un elemento t ∈ R k y por k vectores tangentes a Q en el mismo punto
q ∈ Q.
Como hemos visto en la sección 1.2.1.A., la variedad T 1 k Q se identifica con la
variedad J 1 0 (Rk , Q) de los 1-jets de aplicaciones φQ: Rk → Q con origen en 0 ∈ Rk ;
la identificación entre estas dos variedades viene dada por el difeomorfismo
J 1 0 (Rk , Q) ≡ T Q⊕ k . . . ⊕T Q
j1 0,qφQ ≡ (v1q, . . . , vkq)
donde q = φQ(0), y vAq = (φQ)∗(0)[(∂/∂t A )(0)], 1 ≤ A ≤ k.
Cada aplicación φQ : R k → Q se puede identificar con una sección φ = (id R k, φQ)
del fibrado trivial ˆπ R k : R k × Q → R k . Así, si consideramos los 1-jets de secciones
del fibrado trivial ˆπ R k podemos establecer un difeomorfismo entre la variedad J 1 ˆπ R k
de 1-jets de secciones del fibrado trivial ˆπ R k : R k × Q → R k y la variedad R k × T 1 k Q,
via el difeomorfismo dado por
donde φQ : R k
J 1 ˆπ R k → R k × T 1 k Q
j 1 t φ = j 1 t (id R k, φQ) → (t, v1, . . . , vk)
φ ˆπQ
k R × Q
Q y
vA = (φQ)∗(t)( ∂
∂tA
) 1 ≤ A ≤ k .
t
Denotemos por pQ : Rk × T 1 k Q → Q la proyección canónica, esto es
pQ(t, v1q, . . . , vkq) = q .
(6.14)
Si (qi )1≤i≤n es un sistema local de coordenadas en U ⊆ Q, entonces las coordenadas
locales inducidas (tA , qi , vi A )1≤A≤k ,1≤i≤n en p −1
Q (U) = Rk × T 1 k U son
t A (j 1 t φ) = t A (t) = t A , q i (j 1 t φ) = q i (φQ(t)) , v i A(j 1 t φ) = ∂(qi ◦ φQ)
∂t A
o equivalentemente
t A (t, v1q, . . . , vkq) = t A (t) = t A ; q i (t, v1q, . . . , vkq) = q i (q);
v i A (t, v1q, . . . , vkq) = vAq(q i ) .
t