Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

8.1.2 Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. 317
8.1.2. Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden.
En el formalismo lagrangiano k-cosimpléctico estándar las soluciones de las ecuaciones
de campo de Euler-Lagrange se obtienen como secciones integrales de ciertos
campos de k-vectores en Rk × T 1 k Q que denominamos sopdes.
Con el fin de introducir el concepto de sopde en este capítulo vamos a recordar
el concepto de sopde en Rk × T 1 k Q, (para más detalles véase la sección 6.2.2).
Un sopde, X = (X1, . . . , Xk), en Rk × T 1 k Q es un campo de k-vectores en
Rk × T 1 k Q, esto es, una sección de
tal que
τ k
R k ×T 1 k Q : T 1 k (R k × T 1 k Q) → R k × T 1 k Q
dt A (XB) = δ A B y S A (XA) = ∆A , 1 ≤ A, B ≤ k
donde ∆A y SA denotan los campos de vectores canónicos y los campos de tensores
canónicos en Rk × T 1 k Q que han sido definidos en la sección 6.2.1.
Basándonos en esta definición introduciremos la definición de sopde en algebroides
de Lie.
Denotaremos por (TE ) 1 k (Rk × k
⊕ E) la suma de Whitney sobre Rk × k
⊕ E de k
copias de TE (Rk × k
⊕ E), esto es,
(T E ) 1 k(R k × k
⊕ E) = T E (R k × k
⊕ E)⊕ k
. . . ⊕T E (R k × k
⊕ E) .
Teniendo en cuenta que TE (Rk × k
⊕ E) es el análogo en algebroides de Lie de
T (Rk × T 1 k Q) es trivial comprobar que (TE ) 1 k (Rk × k
⊕ E) va a jugar el papel del
fibrado T 1 k (Rk × T 1 k Q), esto es, el fibrado de las k1-velocidades de Rk × T 1 k Q.
Es evidente que una sección
ξ : R k × k
⊕ E → (T E ) 1 k(R k × k
⊕ E)
de (T E ) 1 k (Rk × k
⊕ E) induce una familia {ξ1, . . . , ξk} de secciones de T E (R k × k
⊕ E) sin
más que proyectar sobre cada factor de la suma directa que define (T E ) 1 k (Rk × k
⊕ E).