Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

358 A Simetrías y leyes de conservación
En primer lugar consideremos un sistema local de coordenadas en el que el difeomorfismo
Φ : T 1 k Q → T 1 k Q lo escribimos como sigue
Φ(q j , v j
B ) = (Φi (q j , v j
B ), ΦiA(q j , v j
B )) .
De la hipótesis Φ ∗ ω A L = ωA L deducimos:
∂ 2 L
∂qj ∂vi
A w
∂2L ∂v j
B∂vi
w
A
=
=
−
0 =
∂ 2 L
∂qk∂v l ∂Φ
A
Φ(w)
k
∂qj
w
∂ 2 L
∂ 2 L
∂Φk ∂v j
B
∂qk∂v l
A
Φ(w) w
∂qk∂v l
∂Φ
A
Φ(w)
k
∂qi
w
∂ 2 L
∂qk∂v l
A
Φ(w)
donde w ∈ T 1 k Q es un punto arbitrario.
∂Φk
∂v j
B
w
+ ∂2 L
+ ∂2 L
+ ∂2 L
+ ∂2 L
∂vk C∂vl ∂Φ
A
Φ(w)
k C
∂qj
w
∂vk C∂vl
∂Φ
A
Φ(w)
k C
∂v j
w
B
∂vk C∂vl
∂Φ
A
Φ(w)
k C
∂qi
w
∂vk C∂vl
∂Φ
A
Φ(w)
k C
∂v j
w
B
l ∂Φ
∂qi
l ∂Φ
∂qi
l ∂Φ
∂v j
B
l ∂Φ
∂v m D
w
w
w
(A.15)
(A.16)
(A.17)
La segunda hipótesis EL = Φ ∗ EL es equivalente a F L ∗ H = (F L ◦ Φ) ∗ H con
H = EL ◦ F L −1 . En efecto,
F L ∗ H(q j , v j
B ) = EL(q j , v j
B ) = Φ∗ EL(q j , v j
B ) = Φ∗ (F L ∗ H)(q j , v j
B ) = (F L◦Φ)∗ H(q j , v j
B )
Por lo tanto tenemos:
∂(F L∗H) ∂qi
=
w
∂(F L ◦ Φ)∗H ∂qi
w
and ∂(F L∗ H)
∂v i A
w
= ∂(F L ◦ Φ)∗ H
∂v i A
Teniendo en cuenta la expresión local de la transformación de Legendre, (1.34),
se obtiene que la identidad anterior equivalen a las dos identidades siguientes:
∂H
∂qi
+
F L(w)
∂H
∂pB
∂
j F L(w)
2L ∂qi∂v j
=
w
B
∂H
∂qj
∂Φ
(F L◦Φ)(w)
j
∂qi
w
+ ∂H
∂pB 2
∂ L
j (F L◦Φ)(w) ∂qk∂v j
∂Φ
Φ(w)
B
k
∂qi
+
w
∂2L ∂vk A∂vj
∂Φ
Φ(w)
B
k A
∂qi (A.18)
,
w
y
∂H
∂p B j
+ ∂H
∂p B j
∂ 2 L
F L(w) ∂vi A∂vj
w
B
(F L◦Φ)(w)
∂ 2 L
∂q k ∂v j
B
= ∂H
∂qj
∂Φk
∂Φj
(F L◦Φ)(w) ∂vi
A w
Φ(w) ∂vi
A w
+ ∂2 L
∂v k C ∂vj
B
Φ(w)
∂Φ k C
∂v i A
w
w
(A.19)
.
.