Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

8.2.1 Elementos geométricos. 341
en donde Θ A (t,b ∗ q )
es la función definida como sigue:
Θ A (t,b ∗ q ) : (TE (R k × k
⊕ E ∗ )) (t,b ∗ q ) −→ R
(aq, v (t,b ∗ q )) ↦−→ Θ A (t,b ∗ q )(aq, v (t,b ∗ q )) = b ∗ Aq (aq) ,
(8.41)
con aq ∈ E, (t, b ∗ q ) = (t, b1 ∗
q, . . . , bk ∗
q) ∈ R k × k
⊕ E ∗ y v(t,b ∗ q ) ∈ T(t,b ∗ q )(R k × k
⊕ E ∗ ).
por
A partir de las 1-secciones Θ 1 , . . . , Θ k se definen las 2-secciones
Ω A : R k × k
⊕ E ∗ → (T E (R k × k
⊕ E ∗ )) ∗ ∧ (T E (R k × k
⊕ E ∗ )) ∗ , 1 ≤ A ≤ k
Ω A = −dΘ A ,
donde d denota la diferencial exterior d TE (R k × k
⊕E ∗ ) en el algebroide T E (R k × k
⊕ E ∗ ),
véase (8.38).
Reescribiendo el apartado (2) de la Definición 5.2 de la diferencial exterior de
un algebroide de Lie para el algebroide TE (Rk × k
⊕ E ∗ ), podemos escribir:
Ω A L (ξ1, ξ2) = −dΘ A (ξ1, ξ2)
= [ρp∗ (ξ2)](ΘA (ξ1)) − [ρp∗ (ξ1)](ΘA (ξ2)) + ΘA ([ξ1, ξ2 ] p∗ ) ,
(8.42)
para todo par ξ1, ξ2 ∈ Sec(TE (Rk × k
⊕ E ∗ )) donde (ρp∗ , [·, ·] p∗ ) denota la estructura
de algebroide de Lie de TE (Rk × k
⊕ E ∗ ).
A continuación escribimos las expresiones locales de las secciones Θ A y Ω A .
Consideremos
{YB, Xα, V β
B }
una base local de secciones de τ k
Rk × ⊕E ∗ : TE (Rk × k
⊕ E ∗ ) → Rk × k
⊕ E ∗ y
{Y B , X α , V B β }
su base dual. Entonces de la definición de ΘA y de (8.35) se obtiene la siguiente
expresión local:
Θ A m
= y A β X β , 1 ≤ A ≤ k . (8.43)
β=1