Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

282 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
define, para cada A = 1, 2, . . . , k, la 1-forma θ A ∇ en Rk × (T 1 k )∗ Q dada por
θ A ∇(w(t,q))(
Xw ) = αAq ◦ (πQ)∗(t, q) ◦ v ◦ ((πQ)1,0)∗w(t,q) ( (t,q) Xw ) . (7.20)
(t,q)
De la expresión local (7.5) de v(X), deducimos la expresión local de cada θ A ∇ es
Para cada A, la diferencia
θ A ∇ = p A i dq i − p A i Γ i B dt B = p A i (dq i − Γ i Bdt B ) . (7.21)
η A ∇ := θ A − θ A ∇
es una nueva 1-forma en R k × (T 1 k )∗ Q cuya expresión local es
Proposición 7.14 Sea
(7.22)
η A ∇ = p A i Γ i B dt B , 1 ≤ A ≤ k . (7.23)
V = Ker T (πQ)1,0
la distribución vertical del fibrado (πQ)1,0 : R k × (T 1 k )∗ Q → R k × Q y
ω A ∇ = −dθ A ∇.
Si ∇ tiene curvatura 0, entonces (Rk × (T 1 k )∗Q, dtA , ωA ∇ , V ) es una variedad kcosimpléctica.
Demostración:
Teniendo en cuenta que
∂
V =
∂p 1 i
, . . . , ∂
∂pk
i 1≤i≤n
entonces las condiciones (1) de la Definición 6.1 se verifican trivialmente.
Probemos que se verifica la condición (2) de dicha definición, esto es,
k
( ker dt A k
) ∩ ( ker ω A k
∇) = {0} , dim( ker ω A ∇) = k.
A=1
A=1
A=1