Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

368 B Espacios vectoriales k-simplécticos
(1) A ⊂ B ⇒ B ⊥ ⊂ A ⊥ .
(2) W ⊂ (W ⊥ ) ⊥ .
Observación B.3 A diferencia de lo que ocurre en los espacios vectoriales simpléctico,
en nuestro contexto
dim W + dim W ⊥ = dim U.
En efecto, consideremos por ejemplo el espacio vectores real R 3 dotado de la
estructura 2-simpléctica definida por:
ω 1 = e 1 ∧ e 3 ω 2 = e 2 ∧ e 3 V = ker e 3
donde {e 1 , e 2 , e 3 } es la base dual de la base canónica {e1, e2, e3} de U = R 3 . Consideramos
W = generan {e3}, el ortogonal 2-simpléctico de W es W ⊥ = span{e3}. En
este caso, dim W + dim W ⊥ = 2 = dim R 3 .
Generalizando las correspondientes nociones de la geometría simpléctica vamos
a considerar los siguientes tipos especiales de subespacios vectoriales de un espacio
vectorial k-simpléctico.
Definición B.4 Sea (U, ω 1 , . . . , ω k ; V ) un espacio vectorial k-simpléctico y W un
subespacio lineal de U.
W se dice isotrópico si W ⊂ W ⊥ .
W es coisotrópico si W ⊥ ⊂ W .
W es lagrangiano si W = W ⊥ .
W es k-simpléctica si W ∩ W ⊥ = 0.
Proposición B.5 Para cada subespacio vectorial W de U las siguientes propiedades
son equivalentes:
(1) W es un subespacio isotrópico.
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