Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

7.1.1 Conexiones en ˆπ R k : R k × Q → R k . 267
son los fibrados pull-back definidos por los dos diagramas siguientes:
(ˆπQ) ∗ T Q
Rk × Q ˆπQ
Q
T Q
τQ
(ˆπ Rk) ∗ k T R
R k × Q ˆπ R k
T R k
Además (ˆπQ) ∗ T Q se identifica con V (ˆπ R k) (el subfibrado vertical de T (R k × Q)
con respecto a ˆπ R k). Así se tiene la descomposición natural
T (R k × Q) = V (ˆπ R k) ⊕ (ˆπ R k) ∗ T R k
y (ˆπ R k) ∗ T R k se llama subfibrado horizontal.
La descomposición natural que se acaba de introducir se denomina conexión
estándar en el fibrado ˆπ R k : R k × Q → R k . La teoría de conexiones describe las
posibles descomposiciones de este tipo.
k R
Siguiendo el modelo anterior se tiene la siguiente proposición:
Proposición 7.1 Sean ˆπ R k : R k × Q → R k el fibrado trivial y (ˆπ R k)1,0 : J 1 (ˆπ R k) ≡
R k × T 1 k Q → Rk × Q el correspondiente fibrado de 1-jets de secciones de ˆπ R k. Los
siguientes elementos son equivalentes:
(1) Una sección global de (ˆπ R k)1,0 : R k × T 1 k Q → Rk × Q; esto es, una aplicación
tal que (ˆπ R k)1,0 ◦ Ψ = id R k ×Q.
Ψ : R k × Q → R k × T 1 k Q
(2) Un subfibrado H(ˆπ R k) de T (R k × Q) tal que
T (R k × Q) = H(ˆπ R k) ⊕ V (ˆπ R k).
(3) Una 1-forma ˆπ R k-semibásica ∇ en R k ×Q, tal que α◦∇ = α, para toda 1-forma
ˆπ R k-semibásica α ∈ Λ 1 (R k × Q).
Demostración:
La prueba de este resultado, en el caso general de un fibrado π : E → M puede
encontrarse en diferentes secciones de A. Echeverría et al [35] y en Saunders [125].
τ R k