Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

178 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
Consideremos
{Xα, V B α }1≤B≤k, 1≤α≤m
una base local de secciones de τ k
⊕E : TE ( k
⊕ E) → k
⊕ E y
{X α , V α B}1≤B≤k, 1≤α≤m
su base dual. Entonces de (5.25), (5.34) y (5.42) obtenemos
Θ A L = ∂L
∂yα X
A
α , 1 ≤ A ≤ k . (5.44)
De las expresiones locales (5.24), (5.25), (5.26), (5.43) y (5.44) obtenemos para
cada A = 1, . . . , k,
Ω A L = 1
ρ
2
i ∂
β
2L ∂qi∂y α − ρ
A
i ∂
α
2L ∂qi∂y β + C
A
γ ∂L
αβ ∂y γ
X
A
α ∧ X β + ∂2L ∂y β
B∂yα X
A
α ∧ V β
B . (5.45)
Observación 5.27
(1) Si reescribimos las definiciones anteriores en el caso particular k = 1 obtenemos
las formas de Poincaré-Cartan de la Mecánica lagrangiana en algebroides de
Lie. Véase, por ejemplo, [24, 96].
(2) Si consideramos el caso particular E = T Q y ρ = idT Q, entonces
Ω A L(X, Y ) = ω A L (X, Y ) , 1 ≤ A ≤ k
donde X, Y son campos de vectores en T 1 k Q y ω1 L , . . . , ω k L
lagrangianas del formalismo k-simpléctico estándard definidas por ωA L
J A ), donde d denota la diferencial usual.
B. La función energía lagrangiana.
denotan las 2-formas
= −d(dL◦
La siguiente definición es la versión en algebroides de Lie de la función energía
lagrangiana.
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