Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

162 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
Observación 5.11 En el caso particular E = T Q la variedad T E ( k
⊕ E) se identifica
con T (T 1 k Q).
En efecto, puesto que E = T Q y ρ = idT Q en este caso consideramos la prolongación
de T Q sobre τ k Q : T 1 k Q → Q. Así de (5.22) obtenemos
T T Q ( k
⊕ T Q) = T T Q (T 1 k Q)
= {(uq, vwq) ∈ T Q × T (T 1 k Q)/uq = T (τ k Q )(vwq)}
= {(T (τ k Q )(vwq), vwq) ∈ T Q × T (T 1 k Q)/ wq ∈ T 1 k Q}
≡ {vwq ∈ T (T 1 k Q)/ wq ∈ T 1 k Q} ≡ T (T 1 k Q)
(5.28)
Sobre TE ( k
⊕ E) vamos a definir dos familias de objetos canónicos denominados
secciones de Liouville y endomorfismos verticales que se corresponden con campos
de Liouville y la estructura k-tangente en T 1 k Q. En los siguientes apartados vamos
a definir estos objetos.
C. Levantamiento vertical A-ésimo.
Definición 5.12 (véase por ejemplo [24]) Un elemento (aq, vbq) de TE ( k
⊕ E) ≡
E ×T Q T ( k
⊕ E) se dice vertical si verifica
donde
τ1(aq, vbq) = 0q ∈ E ,
τ1 : T E ( k
⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k
⊕ E) → E,
(aq, vbq) ↦→ τ1(aq, vbq) = aq
es la proyección sobre el primer factor E de T E ( k
⊕ E).
La definición anterior implica que los elementos verticales de TE ( k
⊕ E) son de la
forma
(0q, vbq) ∈ T E ( k
⊕ E) ≡ E ×T Q T ( k
⊕ E)
donde vbq ∈ T ( k
⊕ E) y bq ∈ k
⊕ E.
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