Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

278 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
En este capítulo vamos a utilizar los tensores canónicos S dt 1, . . . , S dt k, que teniendo
en cuenta la expresión anterior se escriben localmente como sigue:
SdtA = (dq i − v i B dt B ) ⊗ ∂
∂vi , 1 ≤ A ≤ k . (7.10)
A
Sea L : Rk × T 1 k Q → R una función lagrangiana. A partir de las estructuras
geométricas de Rk × T 1 k Q, que hemos definido en el capítulo 6 podemos construir
las formas de Poincaré-Cartan y la función energía asociada a L.
Definición 7.11 Las 1-formas de Poincaré-Cartan, asociadas con la función lagrangiana
L, son las 1-formas en Rk × T 1 k Q definidas por
Θ A L := dL ◦ S dt A + 1
k LdtA , 1 ≤ A ≤ k (7.11)
De la expresión local (7.10) de SdtA se deduce que la expresión local de ΘA L es
Θ A
1
L :=
k δA BL − v i
∂L
B
∂v i A
dt B + ∂L
∂vi dq
A
i . (7.12)
y teniendo en cuenta la expresión local (6.22) de θA L , esta expresión se puede escribir
como sigue:
Θ A L = θ A L +
1
k δA BL − v i
∂L
B dt B . (7.13)
A continuación vamos a definir la función energía lagrangiana asociada a una
conexión ∇.
Para introducir esta definición haremos uso de los levantamientos canónicos de
campos de vectores de Rk × Q a J 1ˆπ Rk ≡ Rk × T 1 k Q que hemos introducido en la
sección 6.2.3 y de los cuales recordamos, a continuación, su expresión local.
∂v i A
Sea X un campo de vectores en R k × Q con expresión local
∂ ∂
X = XA + Xi
∂tA ∂qi su prolongación ó levantamiento natural a Rk × T 1 k Q es el campo de vectores en
Rk × T 1 k Q cuya expresión local es
X 1 i
∂ ∂ dX dXB
= XA + Xi + − vj
∂tA ∂qi dtA B
dtA
∂
∂vi , (7.14)
A