Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

4.5 Conexiones en T 1 k Q inducidas por una conexión lineal en Q. 141
Proposición 4.24 Sea (Q, g) una variedad de Riemann. Definimos una función T
en T 1 k Q por
T : T 1 k Q → R
(v1q, . . . , vkq) → T (v1q, . . . , vkq) =
k
g(q)(vAq, vAq)
Sea φ : R k → Q y φ (1) : R k → T 1 k Q su primera prolongación. Si φ(1) es una sección
integral de ξH, el sopde asociado a la conexión de Levi-Civita, entonces φ es una
solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange con lagrangiano T , esto es,
Demostración:
k ∂
∂t A
∂T
∂v i ◦ φ
A
(1)
− ∂T
∂q i
A=1
φ (1)
A=1
Si φ (1) : R k → T 1 k Q es una sección integral de ξH entonces
∂2φj ∂tA∂tB = −Γjrs(φ(t)) ∂φr
∂tA ∂φs ∂tB = 0 . (4.31)
(4.32)
Dado que la expresión local de T es T = k A=1 (1/2)grsvr Avs A , obtenemos que las
ecuaciones (4.31) pueden escribirse como sigue
k
A=1
∂kgij(φ(t)) ∂φk
∂t A
∂φ i
∂t A + gij(φ(t)) ∂2 φ i
∂t A ∂t
1 ∂φr
− ∂jgrs(φ(t)) A 2 ∂tA ∂φs = 0 (4.33)
∂tA donde j = 1, . . . , k y ∂kgij = ∂gij/∂q k . Ahora sustituyendo (4.32) en (4.33) obtenemos
k
∂rgsj(φ(t))
A=1
∂φr
∂tA ∂φs ∂tA − gij(φ(t))Γ ı rs(φ(t)) ∂φr
∂tA ∂φs 1
∂φr
− ∂jgrs(φ(t))
∂tA 2 ∂tA ∂φs ∂tA
k
= ∂rgsj(φ(t)) − gij(φ(t))Γ ı rs(φ(t)) − 1
2 ∂jgrs(φ(t))
∂φr ∂tA ∂φs = 0 .
∂tA A=1
Por otra parte
∂rgsj − 1
2 ∂jgrs − gijΓ ı rs = ∂rgsj − 1
2 ∂jgrs − 1
2 (∂rgsj + ∂sgjr − ∂jgrs)
(4.34)