Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.2 La prolongación de un algebroide de Lie mediante una fibración. 153
Definición 5.5 Sea E un algebroide de Lie sobre Q y π : P → Q una fibración.
Se llama prolongación del algebroide de Lie E mediante la fibración π al
fibrado vectorial (T E P, τP , P ).
El siguiente diagrama recoge las diferentes proyecciones definidas a partir de
T E P , que serán utilizadas en el resto del capítulo.
donde
T E P ≡ E ×T Q T P
τ1
E
ρ
ρ π
τP
T P
T π
T Q
τP
τ1(aπ(p), vp) = aπ(p) , ρ π (aπ(p), vp) = vp , τP (aπ(p), vp) = p, (5.10)
siendo aπ(p) ∈ E, vp ∈ TpP y p ∈ P .
A continuación vamos a describir algunos objetos relacionados con T E P .
A. Coordenadas locales en T E P .
Con el fin de introducir las coordenadas locales en la prolongación de un algebroide
de Lie, T E P , consideramos los siguientes sistemas de coordenadas locales:
y además, sea
(q i )1≤i≤n
τQ
P
π
Q
en un abierto U ⊂ Q
(q i , u ℓ )1≤i≤n, 1≤ℓ≤n ′ en π−1 (U) ⊂ P
(q i , y α )1≤i≤n, 1≤α≤m en τ −1 (U) ⊂ E
{eα}1≤α≤m
una base local de secciones de τ : E → Q.
Sea ahora (aπ(p), vp) un elemento arbitrario de T E P ≡ E ×T Q T P , entonces de
la definición de T E P , véase (5.9), se deducen las tres propiedades siguientes: