Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

132 4 Relación entre conexiones no lineales en T 1 k Q y sopde’s
Teorema 4.17 Cada sopde ξ en T 1 k Q determina una aplicación horizontal Hξ para
τ k Q con proyector horizontal
Demostración:
hξ = 1
(I −
k + 1
k
A=1
Sea ξ = (ξ1, . . . , ξk) un sopde en T 1 k Q localmente dado por
ξA = v i A
∂
j
+ (ξA)
∂qi B
∂
∂v j
B
Teniendo en cuenta que para cada A = 1, . . . , k
LξA J A ) . (4.22)
, A = 1, . . . , k .
LξA J A (Z) = [ξA, J A Z] − J A [ξA, Z]
para todo campo de vectores Z en T 1 k Q obtenemos:
k
A=1
LξA SA = −
k ∂
+
∂qi k
A=1
∂(ξA) j
B
∂v i A
∂
∂v j
⊗ dq
B
i + ∂
∂vi B
⊗ dv i B
Mediante un cálculo directo a partir de (4.22) y la expresión anterior se obtiene
que la expresión local de hξ es la siguiente:
hξ =
∂ 1
+
∂qj k + 1
A partir de esta expresión se observa que
k
A=1
∂(ξA) i B
∂v j
A
∂
∂v i B
h 2 ξ = hξ y Ker hξ = V (T 1 k Q)
⊗ dq j . (4.23)
y así, de la definición 4.12 concluimos que hξ es un proyector horizontal.
Finalmente, aplicando el Lemma 4.13 obtenemos que existe una aplicación horizontal
Hξ con proyector horizontal asociado hξ.