Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

56 2 Simetrías y Leyes de conservación
1. La hipótesis Φ∗ωA L = ωA L , 1 ≤ A ≤ k nos proporciona el primer grupo de
identidades : para cada w ∈ T 1 k Q obtenemos
∂2L ∂qj ∂vi 2
∂ L
=
A w ∂qk∂v l
∂Φ
A
Φ(w)
k
∂qj
+
w
∂2L ∂vk C∂vl
∂Φ
A
Φ(w)
k C
∂qj l
∂Φ
w ∂qi
,
w
∂2L ∂v j
B∂vi 2
∂ L
=
w ∂q A
k∂v l
∂Φ
A
Φ(w)
k
∂v j
+
w
B
∂2L ∂vk C∂vl
∂Φ
A
Φ(w)
k C
∂v j
l
∂Φ
w ∂q B
i
w
2 ∂ L
−
∂qk∂v l
∂Φ
A
Φ(w)
k
∂qi
+
w
∂2L ∂vk C∂vl
∂Φ
A
Φ(w)
k C
∂qi l
∂Φ
w ∂v j
, (2.15)
w
B
2 ∂ L
∂Φ
0 =
Φ(w)
k
+
w
∂2L l
∂Φ
.
Φ(w) w w
∂q k ∂v l A
∂v j
B
∂v k C ∂vl A
∂Φ k C
∂v j
B
2. Por ser Φ un difeomorfismo existe Φ −1 y verifica Φ ◦ Φ −1 = id T 1 k Q. Aplicando
la regla de la cadena a esta igualdad, se obtiene el segundo grupo de identidades.
δ i k = ∂Φi
∂qj
∂(Φ
Φ−1 (w)
−1 ) j
∂qk
+
w
∂Φi
∂v j
∂(Φ
Φ−1 (w)
A
−1 ) j
A
∂qk 0 =
,
w
(2.16)
∂Φi
∂qj
∂(Φ
Φ−1 (w)
−1 ) j
∂(Φ
w
Φ−1 (w)
−1 ) j
A
,
w
(2.17)
∂vk +
B
∂Φi
∂v j ∂v A
k B
0 = ∂ΦiA ∂qk
∂(Φ
Φ−1 (w)
−1 ) k
∂qj
+
w
∂ΦiA ∂vk
∂(Φ
B
Φ−1 (w)
−1 ) k B
∂qj ∂v m D
w
. (2.18)
3. El tercer grupo de identidades es una consecuencia del siguiente hecho: si
φ : U0 ⊂ Rk → Q es una solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange, sabemos que
F L ◦ φ (1) : U0 ⊂ Rk → (T 1 k )∗Q es una solución de las ecuaciones de Hamilton-de
Donder-Weyl (1.13). Entonces de la expresión local (1.34) de F L, deducimos las
siguientes ecuaciones.
∂H
∂p A i
∂H
∂q i
(F L◦φ (1) )(t)
(F L◦φ (1) )(t)
=
t
∂φi
∂tA
,
t
k ∂(F L ◦ φ
= −
A=1
(1) ) i A
∂tA
t
= − ∂2L
∂φ
φ (1) (t)
j
∂tA
t
= ∂(F L ◦ φ(1) ) i
∂t A
∂q j ∂v i A
− ∂2 L
∂v j
B ∂vi A
∂
φ (1) (t)
2φj ∂tA∂tB
t
.
(2.19)
4. Por último, al ser L regular, F L es un difeomorfismo local y por tanto, la
hipótesis EL = Φ ∗ EL es localmente equivalente a F L ∗ H = (F L ◦ Φ) ∗ H en donde