Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

1.1.3 Formalismo hamiltoniano. Ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl. 19
para todo Z ∈ X(Q), en las condiciones del enunciado, y por tanto para cada función
.
Z i (q) y ∂Zj
∂q i
q
Aplicando el teorema fundamental del cálculo variacional, de (1.14) se obtiene
que,
k
A=1
∂ψ A i
∂t A
t
+ ∂H
∂q i
ψ(t)
= 0 ,
k
A=1
ψ A j (t)
i ∂ψ
∂tA
t
− ∂H
∂p A i
= 0 .
ψ(t)
El primer grupo de estas ecuaciones nos proporciona el primer grupo de las
ecuaciones de Hamilton (1.13).
Para obtener el segundo grupo partimos de la segunda de las ecuaciones anteriores.
Teniendo en cuenta que en un entorno coordenado (U; q i , p A i ) existe un extremo
de H pasando por cada punto de U se deduce que
∂ψi ∂tA
t
− ∂H
∂p A i
= 0 ,
ψ(t)
que es el segundo grupo de las ecuaciones de Hamilton (1.13).
El recíproco se obtiene partiendo de las ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl
sin más que considerar los cálculos efectuados a lo largo de la demostración.
C. Versión geométrica de las ecuaciones de campo de Hamilton-De Donder-Weyl.
A continuación veremos una nueva descripción de las ecuaciones de campo de
Hamilton-De Donder-Weyl (1.17) en la que emplearemos la geometría que nos proporcionan
las variedades k-simplécticas. En esta descripción obtenemos las soluciones
de las ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl (1.17) como secciones integrales
de ciertos campos de k-vectores. (Véase [56, 104, 107]).
Sea M, ω 1 , . . . , ω k , V una variedad k-simpléctica y sea H : M → R una función
hamiltoniana definida sobre M.
A partir de ahora, en esta primera parte de la memoria, para hacer referencia a
una variedad k-simpléctica y a una función hamiltoniana definida en ella emplearemos
la siguiente definición: