Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

1.2.3 Campos de k-vectores y sopde’s en T 1 k Q. 31
(2) J A (XA) = ∆A, 1 ≤ A ≤ k.
A continuación vamos a caracterizar las secciones integrales de un sopde.
Sea ψ : Rk → T 1 k Q, dada por ψ(t) = (ψi (t), ψi B (t)), una sección integral del
sopde X = (X1, . . . , Xk). Teniendo en cuenta la expresión local de un sopde (1.38)
y reescribiendo la condición de sección integral (1.11) para este caso concreto, obtenemos
que ψ es sección integral de X si, y sólo si, satisface el siguiente sistema de
ecuaciones en derivadas parciales:
∂ψ i
∂t A
t
= v i A(ψ(t)) = ψ i A(t) ,
∂ψ i B
∂t A
t
= (XA) i B(ψ(t)) . (1.39)
De las expresiones (1.10) y (1.39) obtenemos la siguiente proposición.
Proposición 1.42 Sea X = (X1, . . . , Xk) un sopde integrable.
(1) Si ψ es una sección integral de X entonces ψ = φ (1) , donde φ (1) : R k → T 1 k Q
es la primera prolongación de la aplicación
φ : = τ k Q ◦ ψ : Rk ψ
1 Tk Q τ k Q
Q .
Además la aplicación φ(t) = (ψ i (t)) será solución del sistema de ecuaciones
en derivadas parciales de segundo orden
∂ 2 ψ i
∂t A ∂t B
t
= (XA) i B(ψ i (t), ∂ψi
(t)) 1 ≤ i ≤ n ; 1 ≤ A, B ≤ k. (1.40)
∂tC (2) Recíprocamente, si φ : R k → Q, localmente dada por φ(t) = (ψ i (t)), es cualquier
aplicación verificando (1.40) entonces φ (1) es una sección integral de
X = (X1, . . . , Xk).
Observación 1.43 La ecuación (1.40) nos permite afirmar que cuando el sopde
X es integrable entonces (XA) i B = (XB) i A para todo A, B = 1, . . . , k.
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