Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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376 C ∇ Conexión en R k × Q → R k . h: T (R k × Q) → H(ˆπ R k) Proyector horizontal asociado a ∇. v: T (R k × Q) → V (ˆπ R k) Proyector vertical asociado a ∇. R∇ Curvatura de ∇. X H Θ A L E ∇ L Índice de símbolos Levantamiento horizontal de campos de vectores. 1-formas de Poincaré-Cartan en R k × T 1 k Q. Energía asociada a la conexión ∇ y al lagrangiano L. θ A ∇ , ωA ∇ , Formas hamiltonianas asociadas a ∇. H ∇ hamiltoniano asociado a ∇. (θL) A ∇ , (ωL) A ∇ , Formas lagrangianas asociadas a ∇. p: R k × k ⊕ E → Q Proyección canónica S 1 , . . . , S k Endomorfismos verticales en T E (R k × k ⊕ E). ∆1, . . . , ∆k Secciones de Liouville en T E (R k × k ⊕ E). p ∗ : R k × k ⊕ E ∗ → Q Proyección canónica Leg: R k × k ⊕ E → R k × k ⊕ E ∗ Transformación de Legendre.
Conclusiones. El punto de partida de esta memoria ha sido la formulación k-simpléctica y kcosimpléctica de las Teorías Clásicas de Campo de Primer Orden, cuyo origen se encuentra en diversos trabajos de M. de León [80, 82, 81, 83, 84]. A lo largo de la memoria hemos estudiado diversos temas relacionados con las teorías de campos en los formalismos antes mencionados y se ha comprobado que los diversos resultados que se han establecido generalizan los correspondientes resultados de la Mecánica Clásica lagrangiana y hamiltoniana, autónoma y dependiente del tiempo. Entre los resultados a los que he llegado a lo largo del trabajo realizado quiero destacar los siguientes: La teoría de simetrías y leyes de conservación que se ha desarrollado en el Capítulo 2 nos ha permitido extender el teorema de Noether de la Mecánica Clásica al contexto k-simpléctico de modo que nos permite asociar leyes de conservación o cantidades conservadas a ciertos tipos de simetrías, tanto en el enfoque hamiltoniano como en el lagrangiano. Pretendo continuar este estudio extendiendo los resultados sobre simetrías de la Mecánica dependiente del tiempo al contexto k-cosimpléctico. En el Capítulo 3 se han estudiado diversos aspectos de las teorías clásicas de campos sujetos a ligaduras no-holonómicas en el entorno k-simpléctico. El estudio que hemos realizado es muy similar al caso de la mecánica de partículas. Al mismo tiempo los resultados que se han obtenidos son similares a los del contexto multisimpléctico, pero con la ventaja de que el enfoque k-simpléctico es más simple en su descripción y forma de trabajo. En este capítulo también se muestra que, bajo ciertas condiciones de regularidad la proyección de soluciones del sistema sin ligaduras proporciona soluciones del problema con ligaduras no-holonómicas. 377
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A mi familia
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Page 407 and 408: Bibliografía 389 [124] D. J. Saund
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