Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

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204 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie donde τ k,A k ⊕E ∗ : (TE ) 1 k k ( ⊕ E ∗ ) → TE ( k ⊕ E ∗ ) ((a1q, v1b ∗ q ), . . . , (akq, vkb ∗ q )) ↦→ (aAq, vAb ∗ q ) denota la proyección canónica sobre la A-ésima copia de TE ( k ⊕ E ∗ ) en (TE ) 1 k k ( ⊕ E ∗ ). Proposición 5.43 Sea ξ = (ξ1, . . . , ξk): k ⊕ E ∗ → (TE ) 1 k k ( ⊕ E ∗ ) una sección de τ k k Entonces τ ∗ τ ∗ (ρ (ξ1), . . . , ρ (ξk)): k ⊕ E ∗ → T 1 k ( k ⊕ E ∗ ) es un campo de k-vectores en k ⊕ E ∗ . Recordemos que la aplicación τ ∗ ρ : T E ( k ⊕ E ∗ ) ≡ E ×T Q T ( k ⊕ E ∗ ) → T ( k ⊕ E ∗ ) denota el ancla del algebroide T E ( k ⊕ E ∗ ). Demostración: Es una consecuencia directa de los Lemas 5.7 y 5.42. Los campos de k-vectores que se obtienen a partir de esta última proposición van a jugar un papel fundamental en la descripción del formalismo hamiltoniano k-simpléctico en algebroides de Lie. Vamos ahora a calcular la expresión local del campo de k-vectores asociado a una sección ξ. Sea ξ = (ξ1, . . . , ξk) una sección de (TE ) 1 k k ( ⊕ E ∗ ). El Lema 5.42 nos permite afirmar que cada ξA: k ⊕ E ∗ → TE ( k ⊕ E ∗ ) es una sección de τ k ⊕E ∗. Sea ahora {Xα, Vα A } una base local de secciones de τ k ⊕E ∗: TE ( k ⊕ E ∗ ) → k ⊕ E ∗ . Entonces cada ξA se escribe localmente en esta base como sigue: ξA = ξ α AXα + (ξA) B α V α B ∈ Sec(T E ( k ⊕ E ∗ )) , 1 ≤ A ≤ k . ⊕E ∗ .
5.4.1 Elementos geométricos. 205 De (5.61) obtenemos que el campo de vectores en k ⊕ E ∗ asociado a ξA tiene la siguiente expresión local: τ ∗ ρ (ξA) = ρ i αξ α A D. Las secciones de Liouville ∂ ∂ ∂qi + (ξA) B α ∂yB α ∈ X( k ⊕ E ∗ ), 1 ≤ A ≤ k . (5.65) A continuación vamos a introducir k secciones del fibrado vectorial (T E ( k ⊕ E ∗ )) ∗ → k ⊕ E ∗ , dual del fibrado prolongación que estamos considerando en este apartado. Estas secciones nos permitirán describir las ecuaciones de Hamilton en el contexto que nos proporcionan los algebroides de Lie. Definición 5.44 Se llaman secciones de Liouville a las secciones del fibrado vectorial (T E ( k ⊕ E ∗ )) ∗ → k ⊕ E ∗ definidas por: en donde Θ A b ∗ q Θ A : k ⊕ E ∗ −→ (T E ( k ⊕ E ∗ )) ∗ b ∗ q ↦−→ Θ A b ∗ q es la función definida como sigue: ΘA b ∗ q : (TE ( k ⊕ E ∗ ))b ∗ q ≡ Eq ×T Q Tb ∗ k ( ⊕ E q ∗ ) −→ R 1 ≤ A ≤ k , (aq, vb ∗ q ) ↦−→ ΘA b ∗ q (aq, vb ∗ q ) = b ∗ Aq (aq) , para cada aq ∈ E, b∗ q = (b1 ∗ q, . . . , bk ∗ q) ∈ k ⊕ E ∗ y vb ∗ q ∈ Tb ∗ k ( ⊕ E q ∗ ). por A partir de las 1-secciones Θ 1 , . . . , Θ k se definen las 2-secciones Ω A : k ⊕ E ∗ → (T E ( k ⊕ E ∗ )) ∗ ∧ (T E ( k ⊕ E ∗ )) ∗ , 1 ≤ A ≤ k Ω A = −dΘ A , (5.66)
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A mi familia
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+ ∂H ∂p B j = 0 ∂H ∂qj
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A continuación multiplicamos la ex
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En efecto, consideramos la siguient
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= { + − + ∂2L ∂qj ∂vi
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Apéndice B Espacios vectoriales k-
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(2) ω A (u, v) = 0 (A = 1, . . . ,
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Apéndice C Índice de símbolos En
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M ⊂ T 1 k Q Subvariedad de ligadu
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ˆπQ : R k × Q → Q (ˆπQ)1,0 :
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Conclusiones. El punto de partida d
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Bibliografía [1] R. Abraham-J. E.
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Bibliografía 381 [25] J. Cortés,
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Bibliografía 383 [50] M.J. Gotay,
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Bibliografía 385 [75] M. de León,
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Bibliografía 387 [100] E. Martíne
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Bibliografía 389 [124] D. J. Saund
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