Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

190 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
E. Caso particular: Formalismo lagrangiano k-simpléctico estándar
En este apartado vamos a describir el formalismo lagrangiano k-simpléctico
estándar como un caso particular del formalismo lagrangiano en algebroides de Lie.
Como ya hemos comentado anteriormente elegimos como algebroide de Lie E =
T Q y ρ = idT Q; en este caso las constantes de estructura C γ
αβ = 0. Entonces
La variedad k
⊕ E se identifica con T 1 k Q, TT Q (T 1 k Q) con T (T 1 k Q) y (TT Q ) 1 k (T 1 k Q)
con T 1 k (T 1 k Q).
La función energía EL : T 1 k Q → R es EL =
de vectores ∆A en T 1 k
5.19 .
k
∆A(L) − L donde los campos
A=1
Q se obtienen como hemos explicado en la observación
Una sección ξ : k
⊕ E → (TE ) 1 k
k ( ⊕ E) se corresponde con un campo de k-vectores
ξ = (ξ1, . . . , ξk) en T 1 k
Q, esto es, ξ es una sección de τ k
T 1 k Q : T 1 k (T 1 k Q) → T 1 k Q.
Un sopde ξ es un campo de k-vectores en T 1 k Q que es una sección de la
aplicación T 1 k (τ k Q ) : T 1 k (T 1 k Q) → T 1 k Q.
Sea f a función en T 1 k Q entonces
d TT Q (T 1 k Q) f(Y ) = df(Y )
donde df denota la diferencial estándar e Y es un campo de vectores en T 1 k Q.
Se verifica que
Ω A L(X, Y ) = ω A L (X, Y ), A = 1, . . . , k
donde ωA L denota las 2-formas lagrangianas del formalismo k-simpléctico estándard
definidas por ωA L = −d(dL ◦ J A ).
Así, en el formalismo k-simpléctico estándar la ecuación (5.52) se escribe como
sigue:
k
ıξAωA L = dEL ,
A=1
que coincide con las ecuaciones geométricas de Euler-Lagrage (1.45) del formalismo
k-simpléctico estándar.