Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

7.4.1 Elementos geométricos. 297
A partir de las 1-formas en R k × (T 1 k )∗ Q
θ A = (ˆπ A 2 ) ∗ θ, θ A ∇ y η A ∇ = θ A − θ A ∇
construimos las siguientes k-formas en R k × (T 1 k )∗ Q
y
θ =
k
θ A ∧ d k−1 t A , θ∇ =
A=1
k
θ A ∇ ∧ d k−1 t A , η∇ =
A=1
Θ = θ − Hd k t , Θ∇ = θ∇ − H ∇ d k t ,
donde d k t = dt 1 ∧ . . . ∧ dt k es el elemento de volumen en R k y
d k−1 t A = ı ∂
∂tA d k t.
k
η A ∇ ∧ d k−1 t A ,
Recordemos que la forma Θ ya fue introducida en (6.4) para desarrollar el principio
variacional que nos proporciona las ecuaciones de Hamilton-De Donder-Weyl.
Por último, con las 1-formas
Θ A L = dL ◦ S dt A + 1
k LdtA
que hemos definido en (7.11) construimos la k-forma ΘL en Rk × T 1 k Q como sigue
ΘL :=
k
Θ A L ∧ d k−1 t A .
A=1
En la siguiente proposición se establecen algunas de las propiedades que verifican
estas k-formas:
Proposición 7.24 Se verifican las siguientes relaciones:
(1) ΘL = (F L) ∗ Θ .
(2) θ − θ∇ = η∇ = (H − H ∇ )d k t .
(3) (F L) ∗ θ∇ = ΘL + E ∇ L dk t .
A=1