Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

248 6 Formulación k-cosimpléctica de las Teorías Clásicas de Campos
como sigue
F (v (t,wq)) = F (v1(t,wq), . . . , vk(t,p))
= τ k
Rk × T 1 k τ k
Q T 1 k (ˆπ Rk)(v1(t,wq), . . . , vk(t,wq)), T 1 k (ˆπ T 1 k Q)(v1(t,wq),
. . . , vk(t,wq))
= τ k
Rk ◦ T 1 k (ˆπ Rk)(v1(t,wq), . . . , vk(t,wq)), T 1 k (τ k Q ◦ ˆπ T 1 k Q)(v1(t,wq),
. . . , vk(t,wq)) ,
donde τ k Q : T 1 k Q → Q.
(6.27)
Si consideramos los vectores vA(t,wq) con la expresión local (6.26), entonces de la
definición anterior se llega a que
i ∂
F (v1(t,wq), . . . , vk(t,wq)) = (t, (v1)
∂qi
i ∂
, . . . , (vk)
q ∂qi
) ,
q
donde hemos tenido en cuenta la definición 1.37 de la prolongación canónica
y que
Twqτ k Q
T 1 k (τ k Q) = T τ k Q × . . . × T τ k Q: T 1 k (T 1 k Q) → T 1 k Q
i ∂
(vA)
∂qi
wq
ℓ ∂
+ (vA)
∂vi
wq A
i ∂
= (vA)
∂qi
Por lo tanto, la aplicación F se escribe localmente como sigue:
q
1 ≤ A ≤ k .
F = τ k
R k × T 1 k τ k Q : (t A , q i , v i A, (vA)B, (vA) i , (vA) i B) → (t A , q i , (vA) i ) (6.28)
Esta aplicación F aquí definida será utilizada para definir sopdes en R k × T 1 k Q
(véase epígrafe B de esta subsección).
B. sopdes en R k × T 1 k Q.
Ahora es cuando realmente introducimos los sopdes en R k × T 1 k Q.
Definición 6.21 Un campo de k-vectores X = (X1, . . . , Xk) en Rk × T 1 k Q se dice
que es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden (sopde) si :
dt A (XB) = δ A B y (τ k
R k × T 1 k τ k Q) ◦ X = id R k ×T 1 k Q