Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

146 5 Formulación k-simpléctica en algebroides de Lie
5.1.2. Ejemplos.
A continuación vamos a exponer algunos ejemplos de algebroides de Lie. Estos
serán utilizados a lo largo del capítulo.
A. El algebroide tangente
El ejemplo trivial de algebroide de Lie se obtiene considerando
E = T Q y ρ = idT Q.
Las secciones del algebroide son los campos de vectores sobre Q. La estructura
de álgebra de Lie es la propia del conmutador de los campos de vectores, es decir,
[X, Y ]E = [X, Y ] = XY − Y X, .
B. Álgebras de Lie reales de dimensión finita.
Si elegimos Q como un único punto, de forma que T Q = {0}, y como E un
álgebra de Lie g, dotamos a g con una estructura de algebroide de Lie considerando
ρ = 0.
y C γ
αβ
Las funciones de estructura se reducen, en este caso, a constantes ya que ρ i α = 0
son precisamente las constantes de estructura del álgebra g.
C. El algebroide de una variedad de Poisson.
Sea (Q, {·, ·}) una variedad de Poisson. Existe una campo de bivectores (tensores
2-contravariantes antisimétricos), Π, tal que
{f, g} = Π(df, dg) .
El campo hamiltoniano correspondiente a la función f es el campo de vectores
Xf definido por Xf(g) = {g, f}.
El campo de bivectores Π induce una aplicación de fibrados vectoriales sobre la
identidad en la base Q, Π : T ∗ Q → T Q, definido por
β( Π(α)) = Π(α, β), ∀α, β ∈ T ∗
q Q ,