Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

106 3 Teoría de Campos con ligaduras no-holonómicas. Enfoque k-simpléctico.
donde (D V ) 0 =< (τ k Q )∗ µ B α >. Entonces
i) X = (X1, . . . , Xk) es un sopde.
ii) Si φ (1) (t) = (φ i (t), ∂φ i /∂t A (t)) es una sección integral de X, entonces φ
satisface las ecuaciones de campo lagrangianas no-holonómicas (3.7).
Demostración:
Observemos que
y así, en este caso particular,
η A α = J A∗ (dΦα) = ∂Φα
∂vi dq
A
i = (µ A α)idq i = (τ k Q) ∗ µ A α
(D V ) 0 = 〈η A α 〉.
Así, las ecuaciones (3.22) son equivalentes a las ecuaciones geométricas lagrangianas
no-holonómicas (3.8), para el caso de ligaduras lineales, de donde se sigue el
resultado buscado.
Observación 3.25 El caso particular k = 1 se corresponde con el estudio de las
ligaduras lineales en la Mecánica lagrangiana, véase por ejemplo [69].
3.4.4. Ligaduras definidas por conexiones
Supongamos que Q es una variedad fibrada sobre M, esto es, ℘ : Q → M es una
submersión sobreyectiva. Sea Γ una conexión en ℘ : Q → M de modo que
T Q = H ⊕ V ℘ ,
donde V ℘ = ker T ℘. Considerando coordenadas fibradas (q a , q α ), 1 ≤ a ≤ n −
m, 1 ≤ α ≤ m, n = dim Q, la distribución horizontal está localmente generada por
los campos de vectores
Ha =
∂
∂qa H = ∂
∂qa − Γαa(q b , q β ) ∂
,
∂qα