Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

5.3.2 Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden. 167
donde bq = (b1q, . . . , bkq) ∈ k
⊕ E y prA : k
⊕ E → E es la proyección sobre la A-ésima
copia de E en k
⊕ E.
De la expresión local (5.32) de ξ VA y teniendo en cuenta que
y α (bAq) = y α A(b1q, . . . , bkq) = y α A(bq)
se obtiene que la sección ∆A tiene la siguiente expresión local
∆A =
m
y α AV A α , 1 ≤ A ≤ k , (5.35)
α=1
en la base local de secciones de τ k
⊕E dada por {Xα, V A α} y que definimos en (5.24).
Observación 5.19 En el caso estándar, esto es, cuando E = T Q y ρ = idT Q se
verifica que cada sección ∆A se identifica con el campo de vectores
∆A: T 1 k Q → T (T 1 k Q)
vq = (v1q, . . . , vAq) ↦→ (vAq) VA
vq
esto es (véase definición 1.31 y observación 1.32) , con el A-ésimo campo de vectores
de Liouville o campo de vectores canónico en T 1 k Q.
En el formalismo lagrangiano k-simpléctico estándar los campos de vectores
canónicos ∆1, . . . , ∆k, son utilizados para definir la función energía lagrangiana.
De modo análogo, en el contexto que nos proporcionan los algebroides de Lie
sucede algo similar ya que, como veremos en la sección 5.3.3, definiremos la función
energía lagrangiana a partir de las secciones de Liouville ∆1, . . . , ∆k.
5.3.2. Ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden.
En el formalismo lagrangiano k-simpléctico estándar las soluciones de las ecuaciones
de Euler-Lagrange se obtiene como secciones integrales de ciertas ecuaciones
en derivadas parciales de segundo orden (sopde) en T 1 k Q.
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