Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

8.1.3 Formalismo lagrangiano. 327
D. Las ecuaciones de Euler-Lagrange.
El siguiente teorema, principal resultado de esta sección, es el análogo, en el contexto
de algebroides de Lie, del Teorema 6.32 que resume el formalismo lagrangiano
k-cosimpléctico estándar.
Teorema 8.20 Sea L : R k × k
⊕ E → R un lagrangiano regular y
ξ = (ξ1, . . . , ξk) : R k × k
⊕ E → (T E ) 1 k(R k × k
⊕ E)
una sección de (T E ) 1 k (Rk × k
⊕ E) tal que
Entonces:
(1) ξ es un sopde.
YB(ξA) = δ B A
,
k
A=1
ıξA ΩA L = dEL +
k
A=1
∂L
∂t A YA . (8.28)
(2) Sea Φ = (Φ, Φ) un morfismo de algebroides de Lie entre τRk : T Rk → Rk y
τ : E → Q y sea Φ : Rk → Rk × k
⊕ E la aplicación asociada.
Si Φ : Rk → Rk × k
⊕ E , Φ(t) = (t, φi (t), φα A (t)) es una sección integral del
sopde ξ, entonces es una solución del siguiente sistema de ecuaciones en
derivadas parciales
k ∂
∂tA
∂L
Φ(t)
A=1
∂y α A
∂φi ∂tA
t
= ρ i α
∂L
∂qi
Φ(t)
= φ α A (t)ρi α
0 = ∂φα A
∂t B
t
− ∂φα B
∂t A
− φ β
A Cγ
t
αβ
∂L
∂y γ
,
Φ(t)
A
+ C α βγφ β
B (t)φγ
A (t)
(8.29)
Estas ecuaciones las denominamos ecuaciones de campo de Euler-Lagrange
en algebroides de Lie.