Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

7.1.1 Conexiones en ˆπ R k : R k × Q → R k . 271
(3) Si α es una 1-forma en R k × Q ˆπ R k-semibásica y X ∈ X(R k × Q) entonces
(α ◦ ∇)(X) = α(h(X)) = α(h(X) + v(X)) = α(X) ,
por ser α semibásica. Por lo tanto, α ◦ ∇ = α.
(3 ⇒ 2) En primer lugar, obsérvese que
∇ : X(R k × Q) → X(R k × Q)
es una aplicación C ∞ (R k × Q) que verifica
para cada 1-forma ˆπ R k-semibásica α.
α ◦ ∇ = α
Sea β una 1-forma en R k × Q, por ser ∇ ˆπ R k-semibásica también lo es β ◦ ∇ y
por tanto β ◦ ∇ ◦ ∇ = β ◦ ∇ de donde se sigue que
∇ ◦ ∇ = ∇.
Así ∇ es un operador proyección en X(R k × Q) así obtenemos la descomposición
en suma directa
X(R k × Q) = Im∇ ⊕ ker∇ .
Del mismo modo, para cada (t, q) ∈ R k × Q,
∇(t,q) : T(t,q)(R k × Q) → T(t,q)(R k × Q)
induce la descomposición en suma directa
T(t,q)(R k × Q) = Im∇(t,q) ⊕ ker∇(t,q).
Debemos probar que ker∇(t,q) = V(t,q)(ˆπ R k).
Por ser ∇ ˆπ R k-semibásica se tiene
V(t,q)(ˆπ R k) ⊂ ker∇(t,q)
y dado que el anulador de Im∇, esto es, el conjunto de 1-formas que se anulan sobre
los elementos de Im∇, es el conjunto de formas ˆπ R k-semibásicas se tiene la igualdad
(véase lema 3.1.11 de Saunders [125]).