Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

268 7 Formalismo k-cosimpléctico y conexiones no lineales en R k × Q → R k .
A continuación adaptaremos dicha demostración para el caso que estamos considerando,
esto es, cuando E = R k × Q y M = R k .
(1 ⇒ 2) Sea
Ψ : R k × Q → R k × T 1 k Q ≡ J 1 ˆπ R k
una sección de (ˆπ R k)1,0 entonces, para cada elemento (t, q) ∈ R k × Q se verifica que
entonces existe
sección de ˆπ R k con φ(t) = (t, q) tal que
Ψ(t, q) ∈ J 1 ˆπ R k,
φ = (id R k, φQ) : R k → R k × Q
Ψ(t, q) = j 1 t φ = j 1 t (id R k, φQ).
En estas condiciones definimos
H(t,q)(ˆπ R k) := Im Ttφ y H(ˆπ R k) =
(t,q)∈R k ×Q
H(t,q)(ˆπ R k) .
Obsérvese que en la definición anterior el subespacio Im Ttφ no depende del
representante φ sino de la clase de equivalencia j1 t φ.
Sea { ∂
∂t1
, . . . ,
t
∂
∂tk
} una base de TtR
t
k entonces el espacio H(t,q)(ˆπ Rk) está localmente
generado por los vectores
φ∗(t)( ∂
∂tA
) =
t
∂
∂tA
+
(t,q)
∂(qi ◦ φQ)
∂tA
∂
t ∂qi
1 ≤ A ≤ k .
(t,q)
Se verifica que
T(t,q)(R k × Q) = H(t,q)(ˆπ R k) + V(t,q)(ˆπ R k)
por lo que todo elemento u(t,q) de T(t,q)(R k × Q) se puede escribir de la forma
u h (t,q) + u v (t,q)
donde uh (t,q) ∈ H(t,q)(ˆπ Rk) y uv (t,q) ∈ V(t,q)(ˆπ Rk). En efecto,
u(t,q) =
∂
fA
∂tA
i ∂
+ g
(t,q) ∂qi =
(t,q)
∂
fA
∂tA
+
(t,q)
∂(qi ◦ φQ)
∂tA
∂
t ∂qi
+ (g
(t,q)
i ∂(q
− fA
i ◦ φQ)
∂tA
)
t
∂
∂qi
= u h (t,q) + uv (t,q)
(t,q)