Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

8.1.3 Formalismo lagrangiano. 333
Ecuaciones algebraicas.
• Algebroides de Lie:
• Estándard:
YB(ξA) = δ B A
,
k
A=1
ıξA ΩA L = d TE (R k × k
⊕E) EL +
k
A=1
donde ξ = (ξ1, . . . , ξk) : R k × k
⊕ E → (T E ) 1 k (Rk × k
⊕ E).
dt A (ξB) = δ A B
,
k
A=1
ıξA ωA L = dEL +
k
A=1
∂L
∂t A YA ,
∂L
∂t A dtA .
(ξ1, . . . , ξk) : Rk × T 1 k Q → T 1 k (Rk × T 1 k Q) es un campo de kvectores
en Rk × T 1 k Q.
Ecuaciones de campo.
• Algebroides de Lie:
k ∂
∂t
A=1
A
∂L
∂yα
Φ(t)
A
= ρi ∂L
α
∂qi
− φ
Φ(t)
β
ACγ ∂L
αβ
∂y γ
∂φ
,
Φ(t)
A
i
∂tA
t
= φα A (t)ρi 0 =
α
∂φαA ∂tB
−
t
∂φαB ∂tA
+ C
t
α βγφ β
B (t)φγ A (t)
Las soluciones de estas ecuaciones son aplicaciones
• Estándard:
k
∂
∂t
A=1
A |t
Φ: R k → R k × k
⊕ E
t ↦→ Φ(t) = (φA(t), φ i (t), φ α A (t))
∂L
=
Φ(t)
∂L
∂q i
Φ(t)
∂v i A
, v i A( Φ(t)) = ∂(qi ◦ Φ)
∂t A
.
t
Las soluciones de estas ecuaciones son aplicaciones
Φ: R k → R k × T 1 k Q
t ↦→ Φ(t) = (t, φ i (t), φ i A (t))