Silvia Vilari˜no Fernández NUEVAS APORTACIONES AL ESTUDIO ...

120 4 Relación entre conexiones no lineales en T 1 k Q y sopde’s
La aplicación j que acabamos de introducir es un homomorfismo entre el fibrado
tangente τ T 1 k Q y el fibrado transverso (τ k Q )∗ τQ, esto es, tenemos el diagrama conmu-
tativo
T (T 1 k Q)
τ T 1 k Q
T 1 k Q
j
id T 1 k Q
T 1 k Q ×Q T Q
1 Tk Q
(τ k Q )∗ τQ
y además las aplicaciones inducidas jvq : Tvq(T 1 k Q) → (T 1 k Q ×Q T Q)vq son lineales
para todo vq ∈ T 1 k Q.
Observación 4.5 En el libro de Szilasi, [131], página 62, podemos encontrar la
definición de la aplicación j considerando un fibrado vectorial arbitrario (E, π, M).
En nuestro caso E = T 1 k Q, M = Q y π = τ k Q .
4.1.5. La suceción exacta corta construida a partir de τ k Q .
Con los elementos que hemos introducido a lo largo de esta sección podemos
definir una sucesión exacta corta de fibrados vectoriales. A dicha sucesión la denomi-
. Esta sucesión
naremos la sucesión exacta corta canónica construida a partir de τ k Q
nos permitirá introducir conexiones no-lineales en el fibrado tangente de las k1- velocidades T 1 k Q.
Lema 4.6 La sucesión
0
1 Tk Q ×Q T 1 k Q i
1 T (Tk Q)
j
1 Tk Q ×Q T Q
⋄
0 (4.8)
es una sucesión exacta corta de fibrados vectoriales, que se llama la sucesión exacta
corta canónica construida a partir de τ k Q .
Demostración:
La demostración de este resultado se puede encontrar en la página 62 de Szilasi,
Q, M = Q y
[131], para una fibrado arbitrario (E, π, M). En nuestro caso E = T 1 k
π = τ k Q .