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86 Historische Uebersicht der Lehre von der Wärmeleitung.
während nach rechts, weil
du
— mit x variirt, austritt die Wärmed
cß
du
menge — kq
dx
, d^u
' dx"^
''
dt}) Die Wärmemenge, welche
in Min
- d^u
dt zuwächst, ist demnach Ti q-r—r dx dt.
(t 00
Das Volum
der auf die Fläche q entfallenden Schicht ist qdx., q deren Dichte
und c deren specifische Wärme, demnach qdxgc deren Wärme-,
capacität.
dtt
Nennt man -j^dt die Temperatursteigerung in der
ÖJIA/
Zeit dt.^ so ist die zugewachsene Wärmemenge auch qdxQC-^dt.
Demnach besteht die Gleichung
qdxQC ^^ dt =^Jcq^^dx dt, oder
du Ii d^u
dt CQ dx^
wobei also u eine Funktion von x und t ist, deren Eigenschaften
diese partielle Differentialgleichung ausdrückt.
11. Denkt man sich in einem unendlichen
3r wärmeleitenden Körper die Temperatur von
Punkt zu Punkt verschieden, also im Allgemeinen
nach allen drei Coordinatenrichtungen
X, y, z variirend, so ergiebt sich die betreffende
H Gleichung in ganz analoger Weise. Wir fassen
ein unendlich kleines Parallelepiped dx-dy-dx
heraus. Nach jeder Coordinatenrichtung tritt
ein Strom ein und aus. Für die Ströme nach
•Fig. 37. ^ Richtung tritt dy • dx an die Stelle von q.
Vermöge dieser Ströme ist der Wärmemengenzuwachs
in der Zeit dt in dem Volumelement dxdydx
Je dy dx ^^ dx dt,
und analog für die beiden andern Stromricfitungen
_ Es sind dies die beiden ersten Glieder der Entwicklung von
nach der Taylor'schen Reihe.
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