http://rcin.org.pl

Historische Uebersieht der Lehre von der Wärvieleitimg. 101
mit der Geschwindigkeit — c, c, so bleibt man bei denselben
Werthen von u. Physikalisch sind also \p Wellen von beliebiger
Form, welche längs x mit den Geschwindigkeiten — c,
-[- c fortschreiten. Für eine Saite mit festen Punkten müssen
(p und besondern leicht angebbaren Bedingungen entsprechen,
die hier nicht weiter untersucht werden sollen.
Die genauere Betrachtung der obigen Differentialgleichung
lässt erkennen, warum das Integrale derselben zwei unbestimmte
Funktionen enthält. Da ^^ durch bestimmt ist, so bleibt
^^ und damit auch ^ und u — F {x) für alle Werthe von x
d}u
unbestimmt. Ist mittelbar
(It-
durch 4-t bestimmt, so lässt
sich zwar daraus der allgemeine Ausdruck von nicht aber
der Jnfangsiverth von = f (x) (in seinem ganzen Verlauf
CL V
mit u;) ableiten. Um bezüglich F und f verfügen zu können,
mnss das Integrale xicei Funktionen 99 und y; enthalten. PhijsihiHsch
ergiebt sich die Nothwendigkeit von zwei unbestimmten
Funktionen aus dem Umstand, dass man der ganzen Reihe von
Saitenpunkten sowohl beliebige Anfangsexcursionen ^ als auch
von diesen ganz unabhängige Änfangsgeschivindigheiten ertheilen
kann.
24. Eine specielle Funktion, welche einer Differentialgleichung
genügt, ein sogenanntes particuläres Integrale, ist verhältnissmässig
leicht zu finden. Die Exponenzielle hat die bekannte
Eigenschaft, beim Differenziren die ursprüngliche Funktion mit
einer Constanten multiplicirt zurückzugeben. Man kommt also
leicht auf den Gedanken u = in die Gleichung zu substituiren.
Dieselbe zeigt sich in der That erfüllt für a = + c.
Es genügt also u = und u = Wählt man
ß imaginär, so findet man, dass auch u = co^ß{x + ct) und
u = ß [x + c t)^ sowie die Ausdrücke sin ßx cos ßet, cosßx •
sin ßct^ cos ßx • cos ßct^ sin ßx sin ßct^ in welche jene zer-
http://rcin.org.pl