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Historische Uehersieht der Lehre von der Wärmdeitung. 99
darin liegt der Charakter dieser Cylinderfiäche. Bilden wir die
Ausdrücke= 9?'• a u n d = 9?', so zeigt es sich, dass
zwischen beiden die Relation
du du
dx dy
besteht, welche die (partielle) Differentialgleichung der Cylinderfiäche
vorstellt, aus der die Funktion, welche die Form der Leitlinie
bestimmt, ganz ausgefallen ist, welche daher auch umgekehrt
aus der Differentialgleichung nicht abgeleitet werden kann.
Die Funktion cp der Integralgleichung u = (p{y -A^ ax) ist
also eine unbestimmte^ doch kann dieselbe x und y nicht in beliebiger
Weise sondern nur in der Verbindung y a x enthalten,
wenn die Differentialgleichung erfüllt sein soll. Die
Eigenheit solcher Integrale ist es also, dass sie sich in der Form
u = (p [f{x^ y)], als unbestimmte Funktionen (p von bestimmten
Funktionen /"von x und y darstellen. Die beiden Differentialquotienten
sind
du ^, df ^^^^ du , df
dx dx dy ^ dy'
Die/esfeBeziehung derselben ist durch die bestimmte Funktion
/ mit ihren Quotienten gegeben, welche nicht ausfallen.
diA/
Die Differentialgleichung des obigen Beispiels sagt, dass ^ an
dx
d IAJ
jeder Stelle «mal grösser ist als —. Ueber den Verlauf der
dy
Fläche in dem Schnitt X. TJ oder Y U ist hierdurch nichts bestimmt.
Erst wenn der eine gewählt ist, ist auch der andere
an eine Bedingung gebunden. Für die totale Aenderung von
u finden wir
, du , , du , du , , I 7 ^
^""^^dx ^^^ + ^ ^^^ = ^ ^ ^ +
Es wird d u = 0, wenn adx-{-dy = oder dy = — ad x
d. h. wenn dy stets «mal grössere Schritte macht als dx und
zwar in entgegengesetztem Sinne. Darin liegt eben die Eigenschaft
der Cylinderfiäche von dieser bestimmten Achsenrichtung.
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