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Histai-ische Uebersicht der Lehre von der Wiirmeleiiung. 97
matisch und physikalisch die unendliche Mannigfaltigkeit der
D'Alembert'schen Lösungen^). Euler gab den Wert der
BernoUlli'sehen Auffassung zu, stellte aber die Möglichkeit in
Abrede, jede Anfangsform der Saite, z. B. eine aus gebrochenen
Geraden zusammengesetzte, durch periodische Reihen darzustellen.
Hiernach schien ihm die D'Alembert'sche Lösung, welche auch
solche Anfangsformen zuliess, noch immer als die allgemeinere^).
In der angedeuteten Diskussion liegen, wie wir sehen werden,
alle Keime der Fourier'sehen Entwieklungen.
22. Nachdem nun die Umstände erörtert sind, unter welchen
die hier in Betracht kommenden Fragen auftraten, wollen wir
in die letztern näher eingehen, und zunächst den wesentlichen
Unterschied der Integrale einer gewöhnlichen und Qmßr partiellen
Differentialgleichung untersuchen.
-r-t-r du
Wenn eine gewöhnliche Differentialgleichung ~ = ge-
ClOG
geben ist, in welcher wir uns die Variablen gleich gesondert
denken, so giebt diese das Wachsthumsgesetx. der y für Veränderungen
von X an. Die Integration besteht in der Rekonstruktion der
Funktion aus diesem Waehsthumsgesetz. Das Wachsthumsgesetz
enthält aber seiner Natur nach nichts über den Anfangswerth
der Funktion, und somit bleibt auch dieser, die „Integrationskonstante"
unbestimmt. Ist z. B. die Steigung eines Eisenbahnprofils
A^on Meter zu Meter der Horizontalprojektion bekannt,
so kann hieraus das Profil, nicht aber die absolute Höhe des Anfangspunktes
(oder eines anderen Punktes) reconstruirt werden.
Eine partielle Differentialgleichung giebt in dem einfachsten
Fall* die Abhängigkeit der beiden ersten partiellen Differentialquotienten
einer Funktion zweier Variablen voneinander an.
Wenn z. B. u = f{x.^y\ und gesetzt wird
du du
dx dy''
dtt dzt
so ist — durch besimmt, oder umgekehrt, die Werthe des
D. Bernoulli, Eeflexions et eclaircissements sur les nouvelles vi-
brations des cordes exposees dans les memoires de TAcademie 1774, 1748.
Mem. de l'Acad. de Berlin. Annee 1853. S. 147.
2) Euler, a. a. 0. Annee 1753.
Mach, Warme. 7
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