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446 Die Wege der Forschung.
— sich experimenUrend mit den Eigenschaften der Quadratzahlen
beschäftigt, so bemerkte er, dass 32-[-42 = 52 (oder
52 — 42 = 32). N u n musste die Frage entstehen, ob diese beiden
'verschiedenen Reaktionen, die geometrische u n d die arithmetische,
Avelche in P y t h a g o r a s ' Kopf sich zuerst als verbunden zeigten,
n u r an d e m einen Dreierk vereinigt sind? P y t h a g o r a s
wusste, dass die Reihe der ungeraden Zahlen die Differenzen
der aufeinander folgenden Quadratzahlen darstellte, unter welchen
ungeraden Zahlen oder den S u m m e n aufeinander folgender sich
wieder Quadratzahlen befanden. So konnten also noch andere
Pälle der arithmetischen Gleichung, und zu derselben gehörige
Dreiecke gefunden w e r d e n , die sich stets als rechtwinkUg erwiesen.
Endlich zeigte sich, dass in d e m einfachsten Fall des
gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieckes das geometrische
Aequivalent der arithmetischen Gleichung sehr anschaulich hervortrat,
w ä h r e n d diese selbst in (rationalen) Zahlen nicht darstellbar
war. Dies wird schliesslich zu einem allgemeinen geometrische7i
Nachweis des Satzes geführt haben 1). D e r Satz gilt
also für alle rechtwinkligen Dreiecke, dagegen Glicht für schiefwinklige.
F ü r letztere ist später bekanntlich ein anderer analoger
Satz gefunden worden.
Die beiden geometrischen Beispiele zeigen deutlich, wie
die an einem besondern Fall g e w o n n e n e Einsicht sich erweitert,
generalisirt^ u n d wie eben durch die betreffenden Versuche der
E r w e i t e r u n g zugleich eine Uestriktion u n d Specialisirung auf
bestimmte B e d i n g u n g e n z u m klaren Bewusstsein kommt. I m
Gebiete der Physik k ö n n e n wir denselben V o r g a n g w a h r n e h m e n .
Eine Specialbeobachtung erweitert sich zur R i c h m a n n ' s c h e n
u n d diese zur ß l a c k ' s c h e n Mischungsregel. Das Galilei'sche
Fall- oder Wurfgesetz erweitert sich z u m N e w t o n ' s c h e n und
specialisirt sich hiermit zugleich u. s. w.
4. Sehr häufig hält m a n den Entdeckungsvorgang durch „7?^-
1) Derselbe mag recht umständlich gewesen sein, und mehrere Specialfälle
umfasst haben. Heute ist der Nachweis sehr leicht zu führen, indem
man sich das Dreieck senkrecht zur Hypotenuse um deren Länge verschoben
denkt, wobei die Hypotenuse ein Quadrat, die Katheten aber Parallelogramme
zusammen von derselben Fläche wie jenes Qiadrat beschreiben, welche Parallelogramme
den Kathetenquadraten wieder flächengleich sind. Näheres über
die Geschichte des Satzes bei C antor, Geschichte der Mathematik I. S. 152 u. f. f.
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