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74 Das Continuum.
endlich viele. Man kann dies so ausdrücken, dass man sagt,
„die Gerade ist unendlich viel reicher an Punkt-Individuen, als
das Gebiet der rationalen Zahlen an Zahl-Individuen"^). Dies
trifft aber, vs^ie es durch das obige Beispiel des Dreitheilungspunktes
erläutert wurde, schon ohne Eücksicht auf das Irrationale,
jedem hesondern Zahlensystem gegenüber zu. Man könnte sagen, -i
sei dem dekadischen System gegenüber eine relative Irrationalzahl.
Die Zahl^ zunächst zur Bewältigung des Diskreten geschaffen,
ist also dem als imerschöpflich gedachten Continuum gegenüber,
sei dies ein wirkliches oder fingirtes, kein zureichendes Mittel.
Zeno's Behauptung von der Unmöglichkeit der Bewegung wegen
der unendlichen Zahl von Punkten, welche zwischen zwei Stationen
durchlaufen werden müssten, wies demnach Aristoteles
treffend ab mit der Bemerkung: „Das Bewegte aber bewegt sich
nicht zählend'^). Die Vorstellung, alles zählend erschöpfen zu
müssen, beruht auf der unzwechnässigen Anwendung einer für
viele Fälle ztveckmässige7i Hebung. Es giebt sogar eine hierher
gehörige psychopathische Erscheinung: die Zählwuth. Man wird
darin kein Problem sehen wollen, dass die Zahlenreihe nach
oben beliebig fortgesetzt werden, und folglich nicht vollendet
werden kann. So ist es auch nicht nöthig darin, dass die Theilung
einer Zahl in kleinere Theile beliebig weit fortgesetzt, und folglich
nicht vollendet werden kann, ein Problem zu sehen.
Zur Zeit der Begründung der Infinitesimalrechnung und
auch noch später beschäftigte man sich viel mit hierher gehörigen
Paradoxieen. Man fand eine Schwierigkeit darin, dass
der Ausdruck für ein Differential nur dann genau ist, wenn
dieses Avirklich unendlich klein wird, wozu man aber nie in
Wirklichkeit gelangen kann. Die Summe aus solchen nicht unendlich
kleinen Elementen aber, dachte man, müsste nur ein
angenäJiert richtiges Ergebniss liefern. Diese Schwierigkeit
Classc kann keine grösste, in der zweiten keine kleinste Zahl angegeben wer-
den. Ist j/p rational, so ist die betreffende Zahl die grösste der ersten und
die kleinste der zweiten Classe. Vgl. Tannery, The'orie des Eonctions.
Paris 1886.
1) Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen. Braunschweig 1892.
-) Hankel, Geschichte der Mathematik. Leipzig 1874. S. 149.
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