Fisica General Burbano

PESO. CENTRO DE GRAVEDAD 119
VI – 2. Centro de gravedad (CG)
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Supongamos un cuerpo sometido al campo gravitatorio terrestre; cada una de las partículas
del cuerpo está solicitada por una fuerza vertical y hacia abajo de valor m 1
g (m 1
= masa de la
partícula; g = intensidad de la gravedad). Siendo los pesos de las partículas fuerzas paralelas*,
la resultante de componerlas (primero dos a dos, las resultantes entre sí, etc.) es una fuerza de
valor: P = m 1
g + m 2
g + m 3
g + ... = (m 1
+ m 2
+ m 3
+ ...) g = Mg, siendo M la masa total del
cuerpo.
La dirección del peso es, pues, paralela a las componentes. El punto de aplicación está situado
en la vertical V, que coincide con la dirección de P. Si consideramos el mismo problema, con el
cuerpo en otra posición, el punto de aplicación del peso (de módulo, dirección y sentido idénticos
al anterior), estará en la vertical V′. Cualquiera que sea el número de posiciones que consideremos,
todas las verticales, V, V′, V′′, que coincide con la del peso en cada caso, se cortan en un
punto que es el CG.
El centro de gravedad de una figura homogénea y geométrica es el centro geométrico; si la figura
tiene un eje o plano de simetría en él está localizado el centro de gravedad.
El cálculo que nos conduce a la expresión analítica de la posición del CG para cualquier cuerpo,
es: imaginemos en un cuerpo cualquiera dos partículas A y C (Fig. VI-4) de masas m 1
y m 2
; el
peso de cada una de ellas queda representado por las fuerzas m 1
g y m 2
g. Al componer tales fuerzas
paralelas obtenemos la fuerza (m 1
+ m 2
) g, aplicada al punto B (o a uno cualquiera de la vertical
que pasa por él) cumpliéndose: m 1
g/m 2
g = BC/AB.
Proyectamos ABC sobre el plano XY, obteniendo A′B′C′ y, a su vez, proyectemos este segmento
sobre el eje X, obteniendo A′′B′′C′′. La igualdad anterior se puede escribir:
m1
BC BC ′ ′ B C x x2
= =
m2
AB AB ′ ′ = ′′ ′′
A′′ B′′ = x1
−− x
m x
m1x1 − m1x = m2x − m2x2 ⇒ m1x1 + m2x2 = x ( m1 + m2)
⇒ x =
m
Componiendo la fuerza obtenida con el peso de una tercera partícula y la resultante
con el peso de una cuarta partícula, etc., hasta componer todos los pesos
de todas las partículas, obtendríamos:
siendo M la masa total del cuerpo. Repitiendo el mismo razonamiento para los
ejes Y y Z, los valores de las coordenadas del centro de gravedad son:
y
G
Llegamos al mismo resultado teniendo en cuenta que en cada punto del sistema
actúa una fuerza F i
= m i
g y todas ellas son paralelas entre sí, sabemos
que existe un punto que llamamos centro de vectores paralelos (II-28) cuyas coordenadas,
después de sustituir v i
Fig. VI-4.– Coordenadas del centro de gravedad.
por m i
g y R por ∑ m i
g = g ∑ m i
= Mg coinciden
con las obtenidas.
Siendo la partícula un ente ideal sin dimensiones, al aplicar estas fórmulas a un sólido los sumandos
se hacen infinitos, con lo que los sumatorios se transforman en integrales, y considerando
el cuerpo fraccionado en infinitas partículas elementales de masa dm, las ecuaciones anteriores se
convierten en:
x
x
n
G
n
∑ my
=
M
∑ mx i i
i = 1
=
n
∑ m
i = 1
i
i i
i = 1 i = 1
zG
=
∑ mz
z z z
xdm
ydm
=
M
y =
M
z =
G G G
n
∑ mx i i
i = 1
=
M
las integrales que nos aparecen son definidas y están limitadas por las dimensiones del sólido.
En el tema de Dinámica de los sistemas de partículas, estudiaremos un punto privilegiado (en
el cuerpo o fuera de él) llamado CENTRO DE MASA (CM) cuyo concepto es más general que el dado
por CG, puesto que para su definición no será necesaria la existencia de un campo gravitatorio; en
este tema veremos que:
n
M
i
i
zdm
M
+ m x
+ m
1 1 2 2
1 2
Fig. VI-3.– Centro de gravedad de un
sólido.
* Consideramos cuerpos de pequeñas dimensiones comparadas con la Tierra.