Fisica General Burbano

204 DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
PRIMERA ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO:
F
ext
2
d p R v
= = M d = M d = Ma
2
dt dt dt
en la que a es la aceleración del CM.
MOMENTO ANGULAR: Como v = v i
, entonces:
J = Σ r i
× m i
v i
=(Σ m i
r i
) × v = MR × v = R × p = L
«El momento angular de un sólido en movimiento de traslación es igual al momento angular
de una partícula de masa igual a la del cuerpo, colocada en su CM; careciendo, por tanto,
de spin (S = 0) y poseyendo únicamente orbital (L)».
SEGUNDA ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO:
N
ext
d J d R
v
= = × Mv
+ R × M d = R × Fext
=
dt dt
dt
d L
dt
hemos anulado el primer sumando del tercer miembro de esta igualdad por ser v×mv = 0 (vectores
paralelos).
Una consecuencia importante es que por ser S = 0, entonces dS/dt = N CM
= 0, el momento
resultante de las fuerzas exteriores respecto del CM es nulo, es decir:
«Si el sólido rígido se traslada, la resultante de todas las fuerzas exteriores, si existe, pasa
por el CM.»
X – 3. Dinámica del movimiento de rotación del sólido en torno a un eje fijo.
Definición de momento de inercia
Supongamos que tenemos un sólido con dos puntos fijos (pivotes), o lo que es lo mismo: que
sólo puede girar alrededor del eje que pasa por esos dos puntos. Tomemos un sistema de ejes de
referencia de tal forma que Z coincida con el eje fijo, por tanto el origen O del sistema pertenecerá
a él.
Hemos dicho que un sólido rígido puede considerarse como un sistema de partículas en las
que las distancias entre ellas son invariables, con lo que será válida la ecuación del movimiento
obtenida para los sistemas de partículas: N = dJ/dt = N x
+ N y
+ N z
, pero tal y como hemos tomado
los ejes, el sólido no puede girar ni alrededor del eje X ni alrededor del eje Y, con lo que verifica:
N x
= dJ x
/dt = 0 y N y
= dJ y
/dt = 0, siendo la única expresión que nos interesa:
N
z
dJ
=
dt
Supongamos que en un instante determinado el sólido (todas sus partículas) tiene una velocidad
angular v, encontrándonos en la situación representada en la Fig. X-2. El momento angular
de la partícula de masa dm que en ese instante se encuentra en la posición definida por el vector r
y posee una velocidad v, será: dJ = r × dm v, y su módulo: dJ = rvdm, por ser los factores del
producto vectorial perpendiculares. La componente de dJ en la dirección del eje de giro, OZ, tiene
por módulo:
z
F I
HG K J =
p
dJ z = rv dm cos − j rv dm sen j
2
y como: v = wR y R = r sen j, resulta: dJ z
= wR 2 dm.
Si sumamos (integramos) para todas las partículas contenidas en el volumen
V del sólido, obtenemos para la componente según OZ del momento
angular total:
z z z
2 2
J dJ R dm R dm
(3)
z = z = w = w
V V V
a la integral que nos aparece la llamamos MOMENTO DE INERCIA (I) del sólido
respecto al eje de giro (eje OZ), escribiremos:
=z
2
I R dm
V
si además, tenemos en cuenta que los vectores J z
y v tienen la misma dirección,
podemos escribir la expresión (3) en forma vectorial:
J z
= Iv
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Fig. X-2.– Movimiento de rotación de un sólido alrededor
de un eje fijo.
como I es invariante con el tiempo para el sólido rígido, derivándola con respecto
a él, nos queda: