Fisica General Burbano

240 EL CAMPO GRAVITATORIO
por tanto:
GMr0
a =
2GM − rv
2
0 0
r0
r0 r0
⇒ a = =
⇒ a =
2
rv 0 0
2 − ( e + 1)
1−
e
2 −
GM
E
GMm GMm
GMm
= ( e − 1) =− ( 1 −e)
⇒ E =−
2r
2r
2a
0 0
(17)
o bien: E = –GMm/(r a
+ r p
).
La expresión (17) indica que para un satélite determinado la energía total depende exclusivamente
del semieje mayor a de su órbita.
PROBLEMAS: 52 al 57.
XI – 15. Teorema de Gauss para el campo gravitatorio. Ecuación de Poisson
El vector intensidad de campo gravitatorio producido por una masa puntual m en un punto
caracterizado respecto de ella por el vector de posición r es, según (2): g = – Gm r/r 3 . Se trata
pues, de un campo central y newtoniano (su módulo varía con la distancia como r –2 ).
La expresión del teorema de Gauss (párrafo VII-17) para estos campos es:
en la que C es la constante de proporcionalidad en la expresión de la intensidad de campo.
En nuestro caso es: C = – Gm, con lo que para el campo creado por una masa puntual m podemos
poner:
Y si el campo es producido por una distribución discreta de masas (Fig. XI-21) concluimos
que:
«El flujo de campo gravitatorio a través de una superficie cerrada es igual al producto, con
signo negativo, de 4p G por la suma de todas las masas encerradas en su interior, no influyendo
para nada en él las masas que existan en el exterior».
Es decir:
donde M representará la masa total interior a la superficie cerrada A.
Si la distribución de masa interior a la superficie A fuese una distribución volumétrica definida
por una densidad de masa r(x y z), la masa total sería:
donde V es el volumen de la distribución. El teorema de Gauss se escribirá:
z z
g ? dA
= 4pG rdV
A
V
donde A es una superficie arbitraria que rodea a la distribución, luego en particular podemos tomar
la propia superficie de la distribución. La integral del primer miembro de la fórmula anterior la
podemos transformar, en virtud del Teorema de Ostrogradsky-Gauss en una integral de volumen:
z z
g ? d A = divgdV
A
V
luego se verifica que:
f = zg ? dA
= −4pG∑ mi
= −4pGM
M =zr dV
z z z
div gdV =−4pG rdV ⇒ ( div g + 4pGr)
dV = 0
V V V
para que esta relación se verifique para todo dV es preciso que:
A
f = zE?
dA
= 4pC
f = zg ? dA
= − 4pGm
A
A
V
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Fig. XI-21.– Teorema de Gauss para
una distribución discreta de masas.
divg =−4pGr
que es la expresión diferencial (local) del Teorema de Gauss.