Fisica General Burbano

126 PESO. ROZAMIENTO. OSCILACIONES
Las ecuaciones horarias del movimiento las podemos escribir:
F I
HG K J = +
xt () = A ( t + ) = 2p
sen w j Asen T t + j A sen ( 2pn t j )
2 2
2 2
vt () = Awcos( wt+ j)
= ± w A − x
at () =− Aw sen ( wt+ j)
=−w
x
2 2
F = ma = − mAw sen ( wt + j)
= −mw
x
Fig. VI-13.– El oscilador vertical masa-muelle. En
(a) indicamos la longitud natural del muelle. En
(b) la posición de equilibrio con la bolita colgando.
En (c) una posición cualquiera cuando oscila.
Fig. VI-14.– Esquema de un amortiguador.
Como vimos para un mismo oscilador las características propias son el período y la
frecuencia, es decir, el período y la frecuencia son siempre los mismos, pudiendo variar
en él la amplitud (A) y la fase inicial (j).
En consecuencia podemos decir que A y j son independientes de w para un mismo
oscilador.
Esta última consecuencia tiene importantes aplicaciones de los osciladores, así por
ejemplo: para el caso del oscilador constituyente de un reloj, al pasar el tiempo las oscilaciones
se amortiguan haciéndose más pequeñas hasta pararse, cada oscilación
amortiguada tiene el mismo período. Para que no se pare, hay que comunicarle
energía externa, razón por la que hay que darle cuerda, ponerle una nueva pila o mover
un volante con las acciones de nuestro brazo cuando el reloj es automático.
Veamos el caso de una partícula de masa m enganchada a un muelle de masa despreciable
y en posición vertical. En la Fig. VI-13(a) indicamos la longitud natural del
muelle; en la (b), la posición de equilibrio del sistema en la que y 0
es lo que se ha alargado
el resorte respecto de O; la (c) nos representa una posición cualquiera después de
que la hemos sacado de su posición de equilibrio O′ y la hemos soltado.
La ecuación del movimiento respecto de O, será:
∑ F = ma
⇒ m d y = − Ky + mg ⇒ m d y + Ky = mg
2
2
dt
dt
diferente de la (1) en el término constante mg; podemos eliminar éste sin más que hacer un cambio
de variable y tomar como eje O′, luego y′ =y – y 0
y como en el equilibrio mg = Ky 0
, entonces
y 0
= mg/K = cte.; con lo que dy′/dt = dy/dt y d 2 y/dt 2 = d 2 y′/dt 2 . En conclusión:
2
m d y ′
Ky mg
2 + =
dt
Ky = mg
0
2
⇒
2
0
2
m d y ′ + Ky ′ =
dt
que es la ecuación básica del oscilador armónico simple. En consecuencia:
«Para un sistema masa-muelle vertical, se utiliza el mismo tratamiento que se hace al sistema
masa-muelle horizontal, situando el origen en la posición de equilibrio, prescindiendo
de la influencia del peso».
PROBLEMAS: 79 al 103.
VI – 9. Movimiento vibratorio amortiguado
Los movimientos vibratorios armónicos que observamos en la realidad, van disminuyendo su
amplitud con el tiempo, debido a los rozamientos del cuerpo que vibra con el medio exterior y al
rozamiento interno. Los fenómenos de mayor interés son aquellos en que la fuerza de rozamiento
que se opone al movimiento es proporcional a la velocidad (–Rv); tales fuerzas son de origen viscoso,
denominándose a la constante de proporcionalidad (R) COEFICIENTE DE AMORTIGUAMIENTO,
cuya ecuación de dimensiones es: [R] = MT –1 y en el SI se medirá en N · s/m. En la práctica el
amortiguador viscoso se instala en los sistemas para retardar o limitar sus vibraciones y consiste en
un cilindro lleno de un fluido viscoso y un pistón con orificios a través de los cuales puede pasar el
fluido de uno a otro lado del pistón. En la Fig. VI-14 esquematizamos la instalación de un amortiguador.
La fuerza productora del movimiento es pues la suma de la fuerza recuperadora (–Kx) y la de
rozamiento y, por tanto se habrá de verificar:
2
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
F = Ma ⇒ − d x R
Kx − dx K
Rv = ma ⇒ dt
+ m dt
+ m x =
2
2
0
(3)
siendo m la masa del cuerpo que vibra y K la constante recuperadora. En la cual: