Fisica General Burbano

ÁLGEBRA VECTORIAL 35
MUESTRA PARA EXAMEN. PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN. COPYRIGHT EDITORIAL TÉBAR
Si queremos definir una dirección de un eje cualquiera dado en el espacio, definiremos el vector
eº en la dirección de dicho eje; es inmediato que sus componentes coordenadas (proyecciones
sobre los ejes) son precisamente los cosenos directores de este eje.
II – 11. Expresión de un vector en función de sus componentes y los vectores
unitarios correspondientes a los ejes de coordenadas
Si las componentes de un vector son x, y, z, es decir:
v = x + y + z (8)
y llamando i, j y k a los vectores unitarios en la dirección y sentido de los ejes, se verificará:
x = xi, y = yj, z = zk; siendo x, y, z los módulos de x, y, z. Sustituyendo estos últimos valores en
la ecuación vectorial (8), obtenemos:
expresión de un vector en función de los módulos de sus componentes y de los vectores unitarios
en la dirección y sentido de los ejes. Otra forma que emplearemos en este libro para expresar un
vector en función de sus componentes coordenadas será: v(x, y, z) y en particular para los vectores
unitarios en las direcciones de los ejes de coordenadas, i(1, 0, 0), j(0, 1, 0) y k(0, 0, 1).
PROBLEMAS: 2al 11.
II – 12. Producto escalar de dos vectores*. Propiedades
Es un escalar obtenido multiplicando el producto de sus módulos por el coseno del ángulo
que forman.
También se puede definir el PRODUCTO ESCALAR como producto del módulo de uno de los
vectores por la proyección del otro sobre él.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR
a) El producto escalar goza de la propiedad conmutativa, ya que los tres factores (tres números)
v 1
, v 2
y cos j pueden colocarse en cualquier orden sin que varíe el valor de su producto.
b) Goza de la propiedad distributiva. En efecto:
v = a + b + c + ... ⇒ proy v = proy a + proy b + ...
2 v1 2
v1 v1
y el producto escalar tendrá por valor:
v ? v = v proy v = v ( proy a + proy b + ...) = v ? a + v ? b + ...
1 2 1 v1 2 1 v1 v1
1 1
como queríamos demostrar.
c) «Si dos vectores son perpendiculares su producto escalar es cero». En efecto:
v
? v
= vv
1 2 1 2
cos j
j = p ⇒ cos j = 0
2
v
v
v = xi + yj + zk
? v = v v cos j
1 2 1 2
? v = v proy v v
1 2 1 1 2
⇒ v ? v = 0
c.q.d.
La condición v 1
· v 2
= 0 es necesaria para que ambos vectores sean perpendiculares, pero no
es suficiente, para que esto ocurra hay que exigir además, que tanto v 1
como v 2
sean no nulos.
d) «Si dos vectores tienen la misma dirección y sentido, su producto escalar es igual al producto
de sus módulos».
En efecto: si en (9), j = 0 el cos j = 1 ⇒ v 1
· v 2
= v 1
v 2
.
En particular si v lo relacionamos consigo mismo mediante el producto escalar podremos escribir:
v · v = v 2 .
e) Basándonos en la propiedad distributiva vamos a obtener la expresión del producto escalar
de dos vectores en función de sus componentes.
Dados v 1
(x 1
, y 1
, z 1
) y v 2
(x 2
, y 2
, z 2
) su producto escalar será:
v 1 · v 2
= (x 1
i + y 1
j + z 1
k) · (x 2
i + y 2
j + z 2
k) (10)
1 2
(9)
Fig. II-24.– Componentes coordenadas
de un vector. Vectores unitarios
en los ejes coordenados.
Fig. II-25.– Producto escalar.
* Representamos el producto escalar de dos vectores por v 1 · v 2
; el vectorial por v 1
× v 2
(el signo · para el producto escalar
y el × para el vectorial, son notaciones adoptadas por la UIFPA).