Fisica General Burbano

560 ECUACIONES DE MAXWELL. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
(38), k 2 debe entenderse como el cuadrado de un número complejo, y no como el cuadrado de su
módulo.
Si separamos k en sus partes real e imaginaria tendremos una expresión del tipo:
k = k r
+ ik i
Fig. XXIII-7.– En un conductor, la
OEM se amortigua exponencialmente,
y si es k i
≠ 0 los campos E y H están
desfasados.
y el vector campo eléctrico tendrá la forma:
(con una amplitud análoga para el campo magnético), que es la expresión de una onda que se
propaga amortiguándose exponencialmente, tanto más rápidamente cuanto mayor es k i
(fig.
XXIII-7); por tanto, la parte imaginaria de k describe la absorción de la onda en el medio. El inverso
de k i
es la distancia en la que la amplitud de la onda disminuye en un factor e, se denomina
PROFUNDIDAD DE PENETRACIÓN d = 1/k i
.
Su expresión la podemos obtener fácilmente en el caso de que la densidad de corriente sea
mucho mayor que la de desplazamiento, lo que ocurre generalmente en los metales hasta frecuencias
ópticas. En este caso, al sustituir (37) en (36) resulta:
Separamos las partes real imaginaria de la forma siguiente:
La profundidad de penetración se expresa, en este caso:
y disminuye conforme aumentan la conductividad o la permeabilidad del medio, o la frecuencia
de la onda. Por ejemplo, para el cobre (s = 6 × 10 7 W –1 m –1 ) y para frecuencias de 10 14 Hz (infrarrojo),
con m = m 0
se obtiene d = 6,5 × 10 –9 m = 65 Å. La onda penetra en el cobre solamente
unas pocas capas de átomos en las que es absorbida por el metal, que disipa la energía electromagnética,
por medio de corrientes de conducción, en forma de calor. Para una frecuencia de
60 Hz la profundidad de penetración es de aproximadamente 8 mm.
Cuando en un conductor cilíndrico se establece una corriente alterna, en su interior la densidad
de corriente tiene la misma distribución que el campo eléctrico, con lo que su amplitud decrece
exponencialmente a partir de la superficie del conductor. Este efecto, conocido como EFECTO DE
PIEL, es el responsable de que las corrientes de alta frecuencia no se establezcan en todo el volumen
de un conductor, sino que se localicen en una delgada película superficial, aumentando con
ello la resistencia eléctrica del material conforme aumenta la frecuencia.
XXIII – 11. Ecuación de dispersión en función de la densidad de electrones
Vamos a desarrollar la expresión (38) de la ecuación de dispersión en función de las características
del movimiento de los electrones en el material y de su número por unidad de volumen. Para
ello suponemos el material constituido por N iones positivos por unidad de volumen, fijos, de carga
+e, y N electrones, de carga –e y masa m, capaces de desplazarse de su posición de equilibrio
2
estable y atraídos hacia ella por una fuerza recuperadora F1 =−mw 0r.
Consideramos que, en su
movimiento, los electrones experimentan una fuerza resistiva proporciona a la velocidad
F 2
= –Rv. El medio es lineal, homogéneo e isótropo, y supondremos e = e 0
y m = m 0
.
Cuando en este medio se propaga una onda electromagnética caracterizada por las expresiones
(37), la ecuación de movimiento de un electrón en la dirección del campo eléctrico es:
que podemos poner en la forma:
Esta expresión es idéntica a la (9) del párrafo VII-29 (vibraciones forzadas), su solución es, por
tanto: r = r 0
e – i w t , escrita en forma exponencial compleja. Sustituyendo dicha solución en (39) tenemos:
dr
dt
2
d r
2
dt
2 2 2
r i r i r i
( k + ik ) = ( k − k ) + 2ik k ⇒
=−iwr
2
=−w
r
sE
− ikH = E ⇒ k = i = ⇒ =
H i smw
2
s
k ismw
k
2
m d r
2
=−eE −Rv −mw
2 0r
dt
2
E = E e = E e e
2 2
kr
− ki
= 0
smw
⇒ kr
= ki
=
2k k = smw
2
r
d r R dr
2 e
+ + w
2 0r
= − E
dt m dt m
i
i ( kr + iki) x − wt − kx i i ( kr
x − wt)
0 0
1 2
d = =
smw
2 R 2 e
e 1
⇒ −w r − iw r + w0r = − E ⇒ r =
E
2 2
m
m
m w − w + iwR/
m
k i
0
(39)
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