Fisica General Burbano

580 ÓPTICA GEOMÉTRICA I
DISTANCIAS. Puntos a la izquierda de S tienen abcisa negativa y a la derecha, positiva, puntos en
el semiplano superior al eje SC, tienen ordenada positiva y en el inferior, negativa.
ÁNGULOS. Los ángulos que forman los rayos con el eje son positivos si al llevar el rayo sobre el
eje por el menor ángulo, el sentido de giro es contrario a las agujas de un reloj; en caso contrario
son negativos.
Los ángulos que forman los rayos con la normal al dioptrio son positivos si al llevar el rayo sobre
la normal por el menor ángulo, el sentido de giro es el de las agujas de un reloj; en el caso contrario
son negativos.
Según este convenio, expresando las magnitudes con valor y signo, tendremos para ángulos y
distancias los valores expresados en la figura XXIV-31.
XXIV – 15. Puntos conjugados en el dioptrio esférico
Tratamos de hallar la relación que liga a las posiciones de los puntos objeto e imagen (puntos
conjugados) con las características del dioptrio (índices de refracción de entrada y salida n, n′ y el
radio r del dioptrio).
En los triángulos OIC y O′IC, se verifica:
sen e − s + r · sen e′
s′
−r
= ( e, suplemento de OIC) = ( j, suplemento de ICO ·′
)
sen j −p
sen j p′
por división y considerando que n sen e = n′ sen e′:
de la que deducimos que la posición del punto imagen O′ (determinada por s′), depende no sólo
de las características del dioptrio, sino de p y p′ cuyos valores dependen de la inclinación de los rayos
que hayamos considerado en la formación de la imagen, correspondiendo así, en general, infinitos
puntos imágenes del mismo punto objeto*. El dioptrio esférico no es un sistema estigmático.
XXIV – 16. Zona paraxial o de Gauss
Es aquella en que los rayos de luz que intervienen en la formación de la imagen son muy
próximos al eje, verificándose que la altura (IB), en que el rayo más alejado del eje encuentra
al dioptrio, así como la distancia SB son despreciables frente a los valores de s, s′ y
r. En la zona paraxial los ángulos medidos en radianes se confunden con sus senos y tangentes.
Así, expresando todas las magnitudes con su valor y signo, y llamando h a IB, podremos escribir
(Fig. XXIV-31):
y expresar la ley de refracción por:
Siendo h y SB despreciables, se verificará así mismo:
fórmulas a las que haremos referencia en todo el estudio del dioptrio esférico considerando rayos
paraxiales.
XXIV – 17. Imágenes paraxiales en el dioptrio esférico. Invariante de Abbe
Considerando la zona paraxial, tenemos: –s = –p y s′ =p′; que sustituidas en (6) nos da:
n s − r n s ′ − r = ′
s s′
sen e s r
sen e′ = −
s′ − r
⇒
n
L
NM
h
h
− s = s′ = − s
s ′
O
p
p
′ n′
=
n
L
NM
ne
= n′ e′
r r
1−
n
sQP = ′ 1 − s′
⇒
O
⇒
QP
n s − r
p
n s ′ −
= ′
r
p′
− p = − s p′ = s′
1 1
n − n r s QP = ′ 1 − 1
r s ′
A cada uno de los miembros de la expresión anterior se le llama INVARIANTE DE ABBE, el cual
permanece constante siempre que los haces de luz que intervienen en la formación de la imagen
pertenezcan a la zona paraxial. En tal zona: s′ =f(s, n, n′, r), es decir: para un determinado dioptrio
la posición del punto imagen (dada por s′) depende tan sólo de la del punto objeto (dada
L
NM
O
L
NM
O
QP
(6)
(7)
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* Hay que advertir que en el dioptrio esférico existen dos determinados puntos objeto e imagen con correspondencia estigmática.