Fisica General Burbano

46 CÁLCULO VECTORIAL. SISTEMAS DE REFERENCIA
28. Dados dos vectores a (2, –1, 0), b (3, –2, 1) y c (0, –2, 1).
Calcular: 1) (a + b) · c. 2) (a – b) × c. 3) (a × b) · c (producto mixto)
= abc. 4) (a · b) c. 5) (a × b) × c (doble producto vectorial).
29. Dados dos vectores a (1, 0, –1), b (1, 3, 0), c (2, –1, 1) y
d (0, –2, –1). Calcular: 1) (a · b) (c · d). 2) (a × b) · (c × d).
3) (a · b) (c × d). 4) (a × b) × (c × d).
30. Demuéstrese que si a + b + c = 0, se verifica que a × b =
= b × c = c × a.
31. Demostrar la identidad de Lagrange: (a × b) 2 + (a · b) 2 = a 2 b 2 ,
siendo: (a × b) 2 = (a × b) · (a × b) y (a · b) 2 = (a · b) (a · b).
32. Demostrar que el producto vectorial de cuatro vectores verifica:
(a × b) × (c × d) = (abd) c – (abc) d.
B) TEORÍA DE MOMENTOS
33. El origen de un vector es el punto A (3, –1, 2) y su extremo
B (1, 2, 1); calcular su momento respecto a C (1, 1, 2).
34. Dados los vectores v 1
(–2, 3, 1) y v 2
(–1, 3, 2) ambos aplicados
en el punto P (2, 3, 2), calcular el momento del sistema respecto
del punto A (–1, 0, 2) y compruébese que la suma de los dos momentos
es igual al momento de la resultante respecto de A aplicada en P.
35. Hallar el valor de la expresión: a × N C
siendo: a (2, –1, 2),
b (1, –2, 1) y N C
el momento del vector b aplicando en el punto
B (2, 3, 1) con respecto al punto C (1, 1, 1).
36. Las coordenadas del origen de cierto vector son proporcionales
a 1, 5 y a, y sus componentes lo son a 1, a y b. Además, sus momentos
respecto de los ejes de coordenadas, son proporcionales a 1, 2 y 3. Calcular
los valores de a y b.
37. Dado el vector v (3, – 6, 8) cuyo origen es el punto
P (2, 1, –2); calcular su momento respecto al eje: (x – 2)/2 = (y – 5)/3 =
= (z – 3)/6.
38. Calcular el momento del vector v (1, – 3, 2) de origen
P (1, 1, 0) respecto al eje que pasa por los puntos A (1, 0, –1), y
B (2, 1, 1).
39. De un sistema de vectores sabemos que su resultante es
R 1
= 2i + j + 3k y que el momento respecto del origen tiene por módulo
2 6 y es paralelo al vector d = 2i + j – k. Al añadir un nuevo vector
v, el sistema se reduce a su resultante que tiene como recta soporte el
eje OZ. Obtener las componentes de v y su recta soporte.
40. El punto de aplicación del vector v (6, –3, 4) es P (3, – 6, 2)
referidos a un sistema OXYZ. Calcúlese: 1) Momento del vector respecto
al origen O. 2) Momento del vector respecto al punto O′ (2, 3, 1).
41. Dados los vectores deslizantes: v 1
(3, 2, –3) y v 2
(6, –3, 2)
que pasan por los puntos P 1
(2, –6, 4) y P 2
(4, –1, –1), respectivamente,
calcúlese: 1) La resultante del sistema de los dos vectores. 2) El
momento resultante con respecto al origen. 3) El momento resultante
referido al punto O′ (2, –1, 5).
42. Dado el sisitema de vectores: v 1
(3, – 6, 2) de origen
P 1
(1, 3, –2), v 2
(2, 4, – 6) de origen P 2
(3, –2, 1), v 3
(1, –1, 1) de
origen P 3
(1, 3, 0), encontrar la ecuación el eje central y el momento
mínimo.
Problema II-44.
43. Dado el sistema de vectores deslizantes: v 1
(1, 2, 0) que pasa
por el punto P 1
(1, 1, 1), v 2
(–1, –1, 1) que pasa por el punto
P 2
(2, 2, 2), v 3
(0, 1, 1) que pasa por el punto P 3
(0, 1, 2), v 4
(2, 2, 2)
que pasa por el punto P 4
(1, 0, 1), calcular el torsor del sistema.
44. Sobre tres aristas de un cubo de lado a se consideran los tres
vectores de la figura. Calcular: 1) La resultante general. 2) El momento
del sistema respecto al origen. 3) La ecuación del eje central.
45. Dos sistemas de vectores tienen resultantes generales R 1
= 10i
y R 2
= 6i + 8j; los respectivos momentos mínimos tienen por módulos
15 y 25. Calcular: 1) El eje central del sistema total. 2) El momento mínimo
resultante.
46. Dados los vectores deslizantes v 1
(a, 1, 0), v 2
(1, 1, 1) y
v 3
(0, –1, 2), cuyas rectas soporte pasan, respectivamente, por los puntos
P 1
(1, 2, 1), P 2
(1, 1, 2) y P 3
(1, 1, 1); calcular el valor de a tal que
el sistema se reduzca solamente a su resultante, y encontrar la ecuación
del eje central.
47. Se tiene un sistema de tres vectores paralelos, v 1
(2, 1, –1),
v 2
(8, 4, –4) y v 3
(–4, –2, 2), aplicados en los puntos P 1
(0, 1, 2),
P 2
(1, –1, 0) y P 3
(2, 2, 0), respectivamente. 1) Hallar su centro.
2) Obtener la ecuación del eje central del sistema.
C) CÁLCULO INFINITESIMAL VECTORIAL
48. Demostrar aplicando el concepto de límite de un vector las fórmulas:
d (a · b)/dt = a · db/dt + db/dt · b, d (a × b)/dt = a × db/dt +
+ da/dt × b.
49. Dado el vector: a = A (cos wt i + sen wt j) donde A y w son
constantes y t es la variable escalar independiente, se pide: 1) Hallar su
módulo y la derivada de éste. 2) da/dt y |da/dt|. 3) Demostrar que
a y da/dt son perpendiculares.
50. Si v es un vector función de un parámetro t demostrar que:
1) Si v es constante en dirección, entonces v × dv/dt = 0. 2) Si v es
constante en módulo, entonces v · dv/dt = 0.
51. Dados los vectores: a (2t, sen t, 0), b (0, 2 cos t, t 2 ). Calcular:
1) d (a + b)/dt. 2) d (a · b)/dt. 3) d (a × b)/dt. 4) d |a × b|/dt.
5) d (da/dt · b)/dt. 6) d [(a × b)/(a · b)]/dt.
52. Dados los vectores: a (t 2 , t, 1), y b (1, t, t + 1). Calcular:
(a × b) dt.
1) ∫ (a + b) dt. 2) ∫ (a · b) dt. 3) ∫
53. Dado el escalar (función de punto): a = x 2 yz + 3x 2 z – y; calcular
la integral de línea: ∫ adr, (dr = dx i + dy j + dz k), a lo largo de
C
la curva y = x 2 , z = 2, cuando se pasa desde el punto A (1, 1, 2) al
B (2, 4, 2).
54. Dado el vector (Vector campo): v = (x + y) 2 i + xyj; calcular la
integral (circulación): ∫ v · dr, (dr = dx i + dy j), a lo largo de la recta
y = x + 1 desde el punto A (0, 1) al B (1, 2).
C
55. Dado el vector: v = (x – z) 2 i + xj + (y – z) 2 k; calcular la integral
de línea: ∫ v × dr, (dr = dx i + dy j + dz k), a lo largo de la curva
x = y 2 , z = 0, cuando se pasa desde el punto A (1, 1, 0) al
C
B (4, 2, 0).
D) COORDENADAS POLARES
56. Una recta dista del origen de coordenadas una longitud r, y
forma con el semieje OX positivo un ángulo a. Tomando el origen como
polo y el eje OX como eje polar, obtener la ecuación de la recta en coordenadas
polares.
57. Dos puntos están definidos por sus coordenadas polares
(r 1
, j 1
) y (r 2
, j 2
). Obtener la expresión de la distancia entre ambos.
58. Obtener la ecuación en polares de una elipse, considerando un
foco como polo y el eje mayor como eje polar.
59. Obtener la ecuación de una parábola en coordenadas polares,
considerando el foco como polo y el eje polar perpendicular a la
directriz.
60. Cambiar a cartesianas o polares, según corresponda, las expresiones
de las curvas siguientes: 1) (x 2 + y 2 ) 2 = 4 (x 2 – y 2 ). 2) r =
= sen j/(1 + tg j).
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